高大动第六章

HydrodynamicInstability通常把未受扰动前系统的状态称为平衡态(大气中平衡态多指按一定方式分布的基本流动)。扰动使运动离开平衡位置后仍回到它原有的平衡位置，就说平衡态是稳定的；反之，若运动趋向于达到一个新的位置，平衡态就是不稳定的。大气中许多充分发展的有限振幅波动往往是小振幅波不稳定发展的结果，看成是基本状态(层结、基本气流等)对于小扰动的不稳定性。小扰动随时间增强，称基本状态是不稳定的，有时也说波是不稳定的。流体运动稳定性研究的方法有正交模方法(normalmodeapproach)和整体方法(globalapproach)，后者包括能量法和Liapunov直接方法。以下先用气块法求解惯性稳定度和层结稳定度的判据。1.Inertialstability假定大气是正压的，背景场位势高度满足地转平衡关系：yfug1运动方程则为：（8.1）（8.2）DtDyffvDtDu)(uufDtDvg设初始时刻在y=y0处有一随基本流移动的气块。假定气块在与基本气流垂直的方向上的位移为δy，则气块的速度通过积分(8.1)得到：(8.3)相应在y0+δy的基本流场风速为(8.4)yfyuyyug)()(00yyuyuyyuggg)()(00yyuffDtDvg)(代入(8.2)式可得于是有(8.5)其中定义了绝对动量(absolutemomentum)：(8.5)式的解取决于∂M/∂y的符号，所以yyMfyyuffDtyDDtDvg)(22gufyMunstableneutralstableyMf000我们更熟悉的写法是：(8.6)因为f−∂ug/∂y就是基本流的绝对涡度。观测表明，天气尺度的绝对涡度几乎总为正，所以大尺度运动一般来说是惯性稳定的；惯性不稳定一般出现在急流切变区域或低纬区域。负的绝对涡度在任意大范围内的出现将立刻引起惯性不稳定运动，它会使流体发生侧向混合，减小切变直到绝对涡度变正为止。unstableneutralstableyufg00002.STATICSTABILITY由于如果ΓΓd说明θ随高度增大，这样的层结就是静力稳定的(staticallystable)，或称做稳定层结(stablystratified)。气块在稳定层结内平衡位置附近的绝热振荡称之为浮力振荡(buoyancyoscillations)。考虑气块在垂直方向发生一个不引起环境扰动的位移δz，则可知dzTzpgzdtddtdw1)(22根据气块法的假定，再利用状态方程，便有：假定气块起始高度z=0处位温为θ0，在δz处环境位温为：绝热过程中位温守恒，即气块的位温θ(δz)=θ0。上式即为)()()(22ggzdtdzdzdz0)(zNzdtd222)(dzdgN2层结稳定度判据000dzdunstableneutralstableunstableneutralstable0002N3.SymmetricInstability正交模方法只有当ci不为零时，波的振幅才可能随时间增长出现不稳定，此为不稳定出现的必要条件。kci称之为不稳定增长率。)(ctxike)](exp[)exp(]})([exp{tcxiktkcticcxikriirBAROTROPICINSTABILITY在正压涡度方程(8.7)中令0))((fVt',')(vvuyuu代入(8.7)式，得yuxvyu''',0)'](')'([fyvxuutxvyu/'',/'')(22fdyddyud(8.8)0)('')(fyvxut0')(')(222xdyudxut令(8.9)其中，ψ=ψr+iψi为y的复函数。将(8.9)代入(8.8)，得)()(),,('ctxikeytyx0)())((22222dyudkdydcu(8.10)通常假定扰动运动限制在y=±L的纬向通道内，于是(8.10)的边界条件可取为：ψ(y)=0aty=±L(8.11)已知ū(y)的分布，只对相速c的某些值才能求出(8.10)满足(8.11)的解。也就是只有当相速c是一个有正虚部的复数时，扰动振幅将随时间指数增长。将(8.10)除以(ū-c)，便有(8.12)0)/(22222cudyudkdyd22)()(])][()[()(11iriririririrccuiccuiccuiccuiccuiccucu令,)(22irrrccucu22)(iriiccuc把方程(8.12)分为实部和虚部：(8.13)(8.14)0)(])([2222222iirrrdyuddyudkdyd0)(])([2222222riiridyuddyudkdyd(8.13)式乘以ψi，(8.14)式乘以ψr，然后相减注意到上式可重写为：(8.15)0)()(22222222riiirridyuddyddyd0||)()(222iirridyuddyddyddyd)()()(2222dyddyddyddyddyddyddyddyddyddyddyddyddydirririirirriirri将(8.15)对y积分，并利用边界条件ψi=ψr=0aty=±L0||)(222LLidydyud222||ri不稳定扰动必须存在δi0(即ci0)。因为|ψ|2≥0在域内处处成立，只有当β–d2ū/dy2在–LyL内改变符号时，(8.16)式才能满足不稳定波的(必要)条件。即郭晓岚(H.L.Kuo)定理：(8.16)somewheredyud0/22(8.17)(8.12)将Ψ*乘以(8.12)，再积分，由于0)/(22222cudyudkdyd222||)*(*dyddyddyddyd便有LLLLdycuyucudykdyd2222222||||)/*)(()|||(|把实部和虚部分开，得0||||/2222LLidycuyuc上式因左边恒为正，于是有即LLrLLdycuyucudykdyd2222222||||)/)(()|||(|0||||)/)((2222LLrdycuyucu0||||)/(2222LLdycuyuuFjortoft定理(正压不稳定第二必要条件)：0||)(222LLdyudyud正压不稳定的必要条件就是在域内某处平均气流绝对涡度的梯度为零。下图是非洲东风急流区的绝对涡度廓线，阴影区为涡度梯度负值区，它满足正压不稳定必要条件(8.17)式。正压不稳定性不仅由基本气流的特性—水平切变—所确定，而且扰动必须具有倾斜的空间结构，以致扰动速度分量之间存在一定的相关性，即基本气流与扰动的适当耦合才能决定波动的稳定性。如急流北侧的曳式波或急流南侧的导式波。下面将证明这一结论将(8.10)分为实部和虚部，得0)())((0)())((222222222222iarriiirraiiirrrykdydckdydcuykdydckdydcu上两式分别乘以ψ的虚部和实部，然后相减，得：将上式在通道内积分，得：0)]|||(|)([)()(222kdyddyddyddydcdyddyddydcuiirriirrir)]()|||[(|)()])([(222dyddyddydkdydcdyuddyddyddyddydcudydiirriirriirrirLLLLriiridykdyddydyddyddyudc)|||(|/)(222可以证得(参见贺海晏，1982，气象学报，40(4)：409-415)：LLLLidyvudyvudyudkc)''(212/''22分母代表一个纬向波长上的平均波动动能。不稳定波的增长率与其本身动能成反比，增长率的符号由分子(平均动能和扰动动能的转换项)决定。绝热无摩擦正压大气中，扰动的发展所需的能量只能来自于基本气流的动能转换。虽然正压不稳定对非洲波提供了一个满意的发生机制，也可能在赤道太平洋地区也起作用，但必须注意到，只有在平均纬向流切变保持不稳定时，波动才能从平均流中汲取能量使正压不稳定扰动得以持续。观测表明赤道扰动经常出现在没有强的侧向切变的气流中，所以在热带洋面上正压不稳定似乎不是波持续的主要能源。正压不稳定性并不是只出现在热带大气中，在正压涡度方程中科氏参数只是以β的形式出现的，所以正压流在热带地区并没有特殊的意义。正压不稳定也可以出现在中纬的急流区，然而，中纬地区天气扰动起源与发展的更重要的机制是斜压不稳定。BaroclinicInstability:Cyclogenesis大尺度天气扰动的发展常称作cyclogenesis。这一过程可看成是迭加在不稳定纬向流场的微扰动的增幅。在增幅过程中小扰动从基流中汲取势能和(或)动能。讨论斜压不稳定问题时，首先要给出大气的垂直结构。处理一般情形下的斜压不稳定问题在数学上比较困难，本节将采用两层模式来讨论。（8.18）（8.19）pffVtggg0)(0)()(sgpVptInmiddlelatitudesbaroclinicinstabilityisthemostimportantcyclogeneticprocess.Inbaroclinicinstabilityitturnsout,asweshallshowlater,thatthepotentialenergyofthebasicstateflowisconvertedtopotentialandkineticenergyoftheperturbation.Thermaladvectionprocessesareessentialtothedevelopmentofsynopticsystems.Thebarotropicandmodifiedbarotropicmodelsdonotallowtemperatureadvection;thereforetheycannotforecastthedevelopmentofnewsystems.Infactbarotropicmodelsarereallymerelyextrapolationformulaswhichstatethattheverticalvorticitydistributionatanyinstantisadvectedisobaricallybythewindfield.Thefactthatbarotropicprognosesarequiteeffectiveinpredictingtheevolutionofmidtroposphericflowforperiodsofuptotwoorthreedaysindicatesthatintheshortrange,barotropicvorticityadvectionistheprimarymechanismgoverningtheflow.Thisfactsimplyreflectsthe