高数(极限部分总结)

第2章极限与连续注4：N的相应性一般说，N是随着ε的变小而变大的，可写成N=N(ε).但是这种写法并不意味着N是由ε唯一确定的.其实在许多场合下，最重要的是N的存在性，而不在于它的值有多大.因此我们确定N时，经常将|xn-a|作适当的放大处理，使问题简单化.定理2.1.3（保号性）如果limnnxa，且0a（或0a），则存在正整数N，当nN时，0nx（或0nx）。).0(0,lim),0(0}{aaaxxxxnnnnn或那么且或从某项起有如果数列推论定义2.1.3从数列{}nx中任选出无限多项，并按下标从小到大排成一列，记作12,,,,,nkkkxxx称此数列{}nkx为数列{}nx的一个子数列，其中nkx为数列{}nx的第nk项，为数列{}nkx的第n项。特别地，分别称数列21{}nx和数列2{}nx为数列{}nx的奇子数列和偶子数列.特别地如果limnnxa，则1limnnxa。定理2.1.5212limlimlimnnnnnnxaxxa。2.2函数的极限定义2.2.1设函数()fx当x充分大时有定义.A为常数.如果对于任意给定的正数，总存在正数X，使得当xX时，恒有|()|fxA成立，就称常数A为函数()fx当x时的极限，记作).()()(limxAxfAxfx或即lim()xfxA对0，总0X，使得当xX时，恒有|()|fxA。定义2.1.2对0，总N，当nN时，恒有nxa。limnnxa注2：X的相应性一般说，X是随着ε的变小而变大的，可写成X=X(ε)，但是这种写法并不意味着X是由ε唯一确定的.其实在许多场合下，最重要的是X的存在性，而不在于它的值有多大.在不需要强调邻域半径时，通常用0()Ux或0()oUx表示点0x的某个邻域或某个去心领域.所谓研究当0xx时函数()fx的极限，就是考察00()xxxx无限小时，函数()fx的变化趋势.如果此时函数()fx无限接近于常数A，则表明对于任意给定的（不论多么小的）正数，只要00()xxxx充分小，就可使得|)(|Axf。定义2.2.2设函数()fx在0x的某去心邻域有定义.A为常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得当00xx时，恒有|()|fxA成立，就称常数A为函数()fx当0xx时的极限，记作).()()(lim00xxAxfAxfxx或即注1定义中“总存在正数，使得当00xx时”是用来体现x与0x充分接近或0xx充分小的程度.越小，x与0x就越接近.注2此处δ的作用与前面定义中的N和X的作用相仿，均描述自变量的变化过程.一般地，ε越小，δ越小.注3：而“00xx”表示在研究函数()fx当0xx时的极限时，主要是研究()fx在点0x附近的变化趋势，与()fx在点0x处是否有定义以及有定义时()fx为何值并无关系.单侧极限：同理，也有函数()fx当0xx时的右极限)(lim0xfxx，记为0()fx，即00()lim()xxfxfx.Axfx)(lim时，恒有使当XxX,0,0Axf)(Axfx)(lim时，恒有－使当XxX,0,0Axf)(Axfxx)(lim0|)(|,0,000Axf，xxx恒有时使当Axfxx)(lim0|)(|,0,000Axf，xxx恒有时使当定理2.2.1lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA.注：由于limarctanlimarctan22xxxx，所以limarctanxx不存在。.注：此定理适用于讨论分段函数在分点处的极限问题。2.3.1极限的四则运算性质定理2.3.1设lim(),lim()fxAgxB,则（1）lim[()()]lim()lim().fxgxABfxgx存在（2）lim[()()]lim()lim();fxgxABfxgx存在（3）当0B时，()lim()lim.()lim()fxAfxgxBgx存在注关注定理的条件，即条件不满足时不可使用相应的结论。极限存在推论2.3.1设,)(limAxf则（1）lim[C()]lim()fxCACfx（其中C为常数）；（2）nnnxfAxf)]([lim)](lim[（其中n为某正整数）。注1：定理2.3.1可推广到有限个函数情形。对数列极限也成立定理2.3.2(惟一性)若lim()fx存在,则必惟一.定理2.3.3(局部有界性)若lim()fx存在,则()fx局部有界.即如果Axfxx)(lim0,则0M与0，使得对0(,)oxUx，都有()fxM。注：将x→x0换成其他极限过程时也有类似的结论。2.3.2极限的复合运算性质定理2.3.4设函数u=(x)在点x0的某去心邻域内不等于a，但axxx)(lim0.又Aufau)(lim，则复合函数)]([xf当x→x0时的极限存在，且0lim[()]lim(u).xxuafxfA注：定理2,3.4表明在求极限的过程中，可作适当的变量代换。0()lim[()]lim(u).uxxxuafxfA令定理2.3.5设00lim(),limnxxnfxAxx，且0,1,2,nxxn，则lim()nnfx存在，且.)(lim)(lim0Axfxfxxnn注1:定理2.3.5中的极限过程x→x0可改换成其他极限过程，结论仍成立.注2:定理2.3.5表明数列极限问题可转化为函数极限问题来解决.2.3.3极限值与函数值的保号性定理2.3.6(局部保号性)设0lim()xxfxA,且0A（或0A），则在0x的某去心邻域内，()0fx（或()0fx）。推论2.3.2如果在x0的某去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0)，且Axfxx)(lim0，则A≥0（或A≤0）推论2.3.3（局部保序性）如果在x0的某去心邻域内f(x)≥g(x)，且00lim(),lim()xxxxfxAgxB,则A≥B.推广：设(),()PxQx均为多项式函数，且0()0Qx，则000()()lim()()xxPxPxQxQx，也有极限值等于函数值。2.4无穷小、无穷大定理2.4.1在自变量的同一变化过程中，lim()fxA的充分必要条件是()fxA，其中()x为无穷小.定理2.4.2在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小相加，相减或相乘仍为无穷小.定理2.4.3有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论2.4.1常数与无穷小的乘积仍为无穷小.注2：无穷大并不是一个数，而是表示()fx无限增大这一变化趋势.不要把无穷大与很大的数混淆（如10100是很大的数，但不是无穷大）。反例，（1）coslimsinxxxxe，但cossinxxxe无界。（2）数列1,0,2,0,…,n,0,…是无界的，但不是无穷大.定理2.4.4在自变量的同一变化过程中，设()0fx，则()fx为无穷小的充分必要条件是)(1xf为无穷大.注1定理2.4.5称为等价无穷小代换定理，灵活使用该定理，可以简化极限的运算。注2等价无穷小代换，只适用于乘除运算，而不适用．．．于加减运算。2.5极限的存在准则本节我们介绍极限存在的二个准则：⑴夹逼准则；⑵单调有界收敛准则。进而得到的两个重要极限：第一重要极限：0sinlim1xxx第二重要极限：1lim(1)e.xxx准则1（夹逼准则之函数形式）设在自变量的同一变化过程中，f(x)，g(x)，h(x)都有定义，且满足（1）)()()(xhxfxg；（2）Axhxg)(lim)(lim，则.)(limAxf当0x时，sin~,tan~,xxxx21arcsin~,arctan~,1cos~.2xxxxxx准则Ⅱ（单调有界收敛准则）单调有界数列一定收敛.推论2.5.1如果单增数列{xn}有上界，即存在常数M，使得nx≤M,n=1，2，…，则nnxlim存在且不大于M.推论2.5.2如果单减数列{xn}有下界，即存在常数M，使得nx≥M,n=1，2，…，则nnxlim存在且不小于M.利用第二重要极限是处理1型未定式的常见方法。（此外还有其它方法）2.6函数的连续性及其性质直观理解：连续即指极限值=函数值。.定理2.6.1函数()yfx在点0x处连续的函数()yfx在点0x处既左连续，又右连续，即)()()(000xfxfxf本定理适用于讨论分段函数在分点处的连续性问题。sin,cosxx，多项式函数()fx在(,)内均连续。⑵)(lim0xxfx不存在；0000000000[]()()(()())()()()()([)]fxfxfxfxfxxfxfxfxfxfx点为函数的间断点,可去间断点()第一类间断点跳跃间断点()间断点无穷间断点第二类间断点振荡间断点且和都存在或不存在定理2.6.2设函数()fx和()gx在点0x处均连续，则()()fxgx,()()fxgx及0()(()0)()fxgxgx在0x处连续.2.6.3连续函数的运算初等函数的连续性定理2.6.3如果函数()yfx在区间xI上单增（或单减）且连续，则它的反函数)(yx在对应的区间)}(|{xfyyIy上也是单增（单减）且连续的.第2章极限与连续定理2.6.4设函数()yfu,()ux，如果0lim()xxxa，()fu在点ua处是连续的，则)]([lim0xfxx存在，且).()](lim[)]([lim00afxfxfxxxx结论1一切初等函数在其有定义的区间（也称定义区间）内（或上）都是连续的。sin~,tan~,arcsin~,arctan~,xxxxxxxx21e1~,ln(1)~,1cos~,2xxxxxx1~ln(0,1),xaxaaa且(1)1~(0),xx当1n时，111~nxxn。注1：在等价无穷小代换中，可作整体代换，即当()0fx时，将其中的x换成()fx。注2：在数列的极限中，仍可使用等价无穷小代换。2.6.3有限闭区间上连续函数的性质定理2.6.5（最值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则函数()fx在[,]ab上一定有最大值和最小值。定理2.6.6（有界定理）如果函数()fx在有限闭区间[,]ab上连续，则函数()fx在[,]ab上有界.定理2.6.7（介值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()fafb，为介于()fa与()fb之间的任一值,则至少存在一点(,)ab，使得()f。定理2.6.8（零点定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()0fafb，则至少存在一点(,)ab使得()0f。