高数习题集A

1常州大学怀德学院大学数学A（中）试题库（一）定积分应用一、选择题1．图中阴影部分的面积的总和可表示为()（A）()bafxdx（B）|()|bafxdx（C）1212()()()ccbaccfxdxfxdxfxdx（D）1212()()()ccbaccfxdxfxdxfxdx2．曲线(1)(2)yxxx与x轴所围成的图形面积为（）（A）20(1)(2)xxxdx;（B）1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx;（C）20|(1)(2)|xxxdx;（D）1201(1)(2)(1)(2)xxxdxxxxdx.3．由曲线xycos和直线0x，x，0y所围成的图形面积为（）（A）0cosxdx;（B）0|cos|xdx;（C）0cosxdx;（D）20cosxdx+2cosxdx.4．曲线lnyx与直线ln,ln,0yaybab及y轴所围成的面积值为（）（A）lnlnbyaedy;（B）byaedy;（C）lnlnlnbaxdx;（D）lnbaxdx.5．曲线xey与该曲线过原点的切线及y轴所围成的面积值为（）（A）10()xeexdx;（B）1(lnln)eyyydy;（C）1()exxexedx;（D）10(lnln)yyydy.6．曲线)0(cos2a＞ar所围成图形的面积A为（）（A）22012cos2ad（）;（B）212cos2ad（）;2（C）22012cos2ad（）;（D）22212cos2ad（）.7．曲线()yfx、()ygx(()()0)fxgx及直线,xaxb所围成图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为（）（A）120[()()]fxgxdx;（B）1220[()()]fxgxdx;（C）1201[()()]2fxgxdx;（D）12201[()()]2fxgxdx.8．曲线)1ln(2xy在210x上的一段弧长为（）（A）21220111dxx;（B）1222011xdxx;（C）1220211xdxx;（D）122201ln1xdx.9．矩形闸门宽ma，高mh，将其垂直放入水中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力为（）（A）0hagxdx;（B）0aagxdx;（C）0()hagxhdx;（D）0hagxdx.10*．矩形闸门宽ma，高mh，将其垂直放入水中，上沿与水面相距为mb，则闸门一侧所受压力为（）（A）0()hagbhxdx;（B）0()hagbxhdx;（C）0()hagbhxdx;（D）0()hagxhbdx.二、填空题1.由bxaxgyxf),()(围成图形的面积S。2.设曲线)x(fy在]b,a[上连续，，则曲线bx,ax),x(fy及x轴所围成的图形的面积S。3.曲线(),(),(()()0)yfxygxfxgx与x轴及两直线)(,babxax围成平面图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积为。4.设平面图形由曲线0)(fr及射线,围成，则其面积可用定积分表示为5.椭圆12222byax所围图形的面积为。6.由曲线xy1与直线xy及2x所围成的图形的面积是。37.曲线cos2ar所围成的平面图形的面积为。8.曲线2yx、1x和x轴所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体的体积为。9.心形线cos1ar0a的弧长。10．弹簧拉长0．02m，需要9．8N的力，弹簧拉长0．10m所作的功为。三、计算题（基本题20题）1.计算曲线xey，xey与直线1x所围成的图形的面积。2.计算曲线xysin，xycos与直线0x所围成的图形的面积。3.计算曲线2cosr所围成的图形的面积.4.计算曲线lnyx与直线1,xxee和y=0所围成的图形的面积.5.求由曲线yx2与y2x2所围成的图形的面积6.求由曲线yx3与直线x0、y1所围成的图形的面积7.求在区间[0,]2上由曲线ysinx与直线x0、y1所围成的图形的面积8.计算心形线0cos1aar所围成的图形的面积。9.求曲线y=lnx，x=2及x轴围成的平面图形的面积．10.求抛物线22yyx与直线xy2围成的图形的面积．11.计算由抛物线21yx与直线1yx所围成的图形的面积．12.计算阿基米德螺线)0(aar上相应于从0到2的一段弧与极轴围成的图形的面积．13.计算由椭圆12222byax所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积．14.连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形.求这个直角三角形绕x轴旋转所成的旋转体体积．15.求由曲线4xy，1,2yy，y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积．16.计算曲线3223yx上相应于01x的一段弧的弧长．17.求心形线cos1ar0a的弧长.18.计算摆线cos1sinayax的一拱20的长度.19.已知弹簧拉伸1厘米需要的力是3牛顿，如果把弹簧拉伸3厘米需要作的功是多少？20.设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷，则距原点x处单位正电荷受到的电场力2()kFxqx，求单位正电荷沿x轴从x=a移动到x=b时电场力)(xF所作的功.四、综合题与应用题（20题）1.求c(c0)的值使两曲线yx2与ycx3所围成的图形的面积为232.求由心形线1cosr与圆3cosr所围成的标有阴影线部分的图形的面积．3．求曲线1r及cos1r所围成图形的公共部分的面积。44．求摆线(sin)(0,02)(1cos)xattatyat的一拱与x轴围成的图形的面积．5.求摆线ttaxsin，taycos1的一拱)20(t，和x轴所围成图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积．6．求介于曲线xey与它的一条通过原点的切线以及y轴之间的图形的面积.7.计算曲线yx3与直线x2、y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积8.2xy和x轴，1x所围成图形分别绕x轴和y轴旋转所产生的旋转体的体积；9.求曲线yx与直线x1、x4、y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积10.求曲线x2y21与232yx所围成的两个图形中较小的一块分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积11.两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线称为悬链线，悬链线方程为2xxaaeeaxyacha，其中a为常数，计算悬链线上介于bx与bx之间（对应于两根电线杆之间）的一段弧长．12.求星形线,20,sin,cos33ttaytax所围成图形绕x轴旋转产生的立体的体积．13.求星形线,20,sin,cos33ttaytax的弧长．14.一物体按规律3ctx作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由0x移至ax时，克服媒质阻力所作的功．15*．过抛物线2xy上一点),(2aaP作切线，问a为何值时所作切线与抛物线142xxy所围成的图形面积最小？16*.设y=x2定义在[0,1]上，t为)1,0(内的一点，问当t为何值时图2中两阴影部分的面积A1与A2之和具有最小值。图2图317.一个底半径为R(m)，高为H(m)的圆柱形水桶盛满了水，要把桶内的水全部吸出，需要作多少功(水的密度为103kg/m3，g取10m/s2)?18．有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶2米．求闸门上所受的水压力．52米3米2米19*.一等腰梯形的闸门，两底长分别为10m与6m，高为20m，且上底位于水面，计算闸门一侧所受到的水压力．xyO6m20mxx+dxxy101xy10110102020*．一底为8米、高为6米的等腰三角形水泥板，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3米，水的密度为，试求它一侧所受的压力．21*.一根弹簧按螺线ra盘绕，共计10圈，已知每圈的间隔10mm，试求弹簧的全长．（二）常微分方程一、选择题1．微分方程043yyyxyxy的阶数是（）(A)3(B)4(C)5(D)22．在下列函数中，能够是微分方程0yy的解的函数是（）(A)1y(B)xy(C)xysin(D)xey3．下列方程中是一阶线性方程的是（）(A)0ln3xdyxdxy(B)xyydxdyxlnln(C)xxyyxsin22(D)02yyy4．方程的3yyx通解是（）(A)3xcy(B)cxy3(C)3xcy(D)3xcy5．微分方程0xdyydx满足初始条件43xy的特解是（）(A)2522yx(B)cyx43(C)cyx22(D)722xy66．微分方程012yxyx的通解是（）(A)21xcy(B)21xcy(C)22xcxey(D)cxxy3217．微分方程112xxxyy的通解是（）(A)cxarctan(B)cxxarctan1(C)cxxarctan1(D)xcxarctan8．微分方程ydyxxdxylnln满足初始条件11xy的特解是（）(A)0lnln22yx(B)1lnln22yx(C)yx22lnln(D)1lnln22yx9．方程023yyy的通解是（）（A）xxececy221（B）212xxycece（C）2xxycece（D）2xxyee10．求微分方程xeyyyxcos442的一个特解*y时应设特解的形式为*y（）（A）2cos2sin2xeaxbx（B）xbxaexsincos2（C）2cosxeax（D）2cossinxxeaxbx二、填空题1.微分方程1sin2xyy的阶数为__________。2.设某微分方程的通解为xexccy221，且00xy，10xy则___________1c，_____________2c。3.通解为xcey（c为任意常数）的微分方程是___________。4.满足条件dxxfxfx02的微分方程是__________。5.yyx4的通解为__________。6.1ydxdy的满足初始条件10y的特解为__________。7.设ncccxyy,,,21是微分方程12yyxy的通解，则任意常数的个数__________n。78.设曲线xyy上任意一点yx,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。9．设)(xy是)()(xqyxpy的一个特解，)(xY是该方程对应的齐次线性方程0)(yxpy的通解，则该方程的通解为.__________；10．已知xexy)(是xyxpyx)(的一个特解，则________)(xp，该一阶线性方程的通解为_______xey；11．齐次方程xyydxdyxln作变换__________可化为分离变量的微分方程__________，且通过此方法可求得该齐次方程的通解为___________；12．微分方程yxxyydxdy2不是一阶线性微分方程，但是将x看作因变量，而将y看作自