高数第一章函数的连续性与间断点.

1主讲教师:王升瑞高等数学第九讲2二、连续函数及运算法则一、函数在一点的连续性第八节函数的连续与间断第一章三、初等函数的连续性四、函数的间断点五、闭区间上连续函数的性质3客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常在我们说一个函数在某个区间上是连续的，就是说它的图形是该区间上的一条没有间断点的曲线。此几何直观符合我们对连续变化现象的认识，如：气温的变化；动、植物的生长。当时间改变很小时，它们的改变量也很微小。4设变量u从1221uuuu－，终值变到初始值就称为变量1uu在的增量，通常用符号u表示，21uuu即－Δu的值可正可负可为零。函数的增量:121200uuuu5的函数增量也趋于向零，即0000limlim[(+)()]0(1)xxyfxxfx一、函数在一点的连续性定义1在的某邻域内有定义,趋向零时，对应在点并称的连续点。设函数成立，则称函数如果当自变量的增量处连续,是函数6可见,函数在点0x定义2在的某邻域内有定义,则称函数.)(0连续在xxf(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;因为当时，有于是就是因此有000limlim[()()]0xxxyfxfx7)()(lim,),(000xPxPxxx在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要0()0,()QxRx都有0000()lim()()()xxPxRxRxQx例如,8对自变量的增量有函数的增量)(xfyxoy0xxxy)()(lim00xfxfxx)()(lim000xfxxfx0lim0yx)()()(000xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时,有yxfxf)()(0函数在点连续有下列等价命题:9例1.设则时为连续函数.解:0左、右连续)()()(000xfxfxf10211101)(2xxxxabxxf1abx当、时＝处连续.取何值在解：21(1)lim;xfbxb(1)1,f1)(lim)1(1axafx处连续在）时＝＝当1(1,2xxfba例2问函数11ab1122sin)(xxxaxxf2x处连续.在解：1sinlim)2(2xfx)2(2)(lim)2(2faxafx处连续在）时＝当2(21xxfa例3确定a使函数12二、连续函数及运算法则定义4],[baxxfy若且(),()fafafbfb存在，则称baxf,在内连续，],[baxf在上连续，称区间],[ba为的连续区间。xf若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数..],[baC在闭区间上的连续函数的集合记作如果区间包括端点，在左端点是右连续。那么函数在右端点是左连续，continue13例4.证明函数在内连续.证:),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxxyx0x即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.014定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续定理1.(连续函数的四则运算法则）在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,xysin在上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.调递增(递减)也连续单15定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:设函数.)(00ux于是)(lim0ufuu)]([0xf故复合函数又如,且即16例如,是由连续函数链*Rx因此在*Rx内连续.复合而成,xyoxy1sin17例5求)21arcsin(lim21xx解令212xu原函数可以看成uyarcsin212xu及复合而成，它们分别在点12100xu和处连续。)21arcsin(lim21xx根据复合函数的连续性211arcsin221arcsin618三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续定理4一切初等函数在定义区间内连续例如,21xy的连续区间为(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为1cosxy的定义域为因此它无连续点.而19例6求下列函数的极限201coslimxxxxxcoslim01xx5sin3lnlim23ln2sin3ln20例7求32231xxxf的连续区间，3lim().xfx并求解因为所给函数是初等函数，3)2)(1(1xxxf其连续区间就是定义域：,22,11,又因为30x是定义域中的一点.)(lim3xfx331lim(1)(2)xxx32121在在四、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;22间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称0x若称0x第二类间断点:及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.231)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(1)xoy211(2)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.例如:242x为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.例如:xytan2xyoxyxy1sin025例8检验101112xxxxxf在1x处的连续性。解:01f11lim21xxx21f则在1x处间断。作新函数121xxxfxF121112xxxxxF在1x处的连续性。xoy126x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,例9讨论函数解2,1x为间断点xfx1lim21lim1xxx2xfx2lim27例10确定函数间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf,1xxe,01xxe28例11讨论函数xnxnneexxxf1lim2的连续性。解：时0xnlim2xxeexxxfxnxnn1lim20xne0,00.xf0,x时有因而00lim0fxfxxfx0lim内连续在,xfxnxnneexxxf1lim200002xxxxxxfnlim,nxe291,41,)(xxxxx例12设解:讨论复合函数的连续性.1,2xx1,2xx故此时连续;而)]([lim1xfx21limxx1)]([lim1xfx)2(lim1xx3故x=1为第一类间断点.1)(),(2xx1)(,)(2xx,)]([1为初等函数时xfx在点x=1不连续,30注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.五、闭区间上连续函数的性质定理5.（最值定理）在闭区间上连续的函数在该即:设,],[)(baCxfxoyab)(xfy12则,],[,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa区间上一定有最大值和最小值.或在闭区间内有间断(证明略)点,xfxfmM31例如,无最大值和最小值xoy11xoy1122也无最大值和最小值又如,32bxoya)(xfy12mM定理6（有界性）由定理1可知有,)(max],[xfMbax)(min],[xfmbax证:设上有界.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.33定理7（零点定理）.至少有一点且使xyoab)(xfy(证明略)设34定理8.(介值定理)设,],[)(baCxf且,)(Aaf,,)(BABbf则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数Cxfx)()(则,],[)(baCx且)()(ba))((CBCA故由零点定理知,至少有一点使即推论:Abxoya)(xfyBC使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.35例13证明方程至少有一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内x是原方程的根.36例14至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.37使该问题可转换为证明方程则至少存在一个)()(axfxf在上至少有一实根。令)0()()0(faf()(2)()afafa由零点定理可证例15设函数证证明有0[0,]a(0)()(0)ffa38证:例16设函数令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx时,有AxfA)(又,],[)(XXCxf根据有界性定理,01M,使],[,)(1XXxMxf取1,,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,lim()xfx存在,则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox39内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式403.基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.414、在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在42作业P742（1）（3）3（1）（3）；4；5双号；6；7；8.