高等代数(II)(11)

12007-2008年高等代数(06级)第一学期试题一．判断题(本题共10分,每小题1分,对者划√;错者划×)1.若A是实对称矩阵,│A│＞0,则A是正定的.()2.子集{（a1，0,…0,an）|a1,an∈R}关于Rn中通常的加法与数量乘法不构成Rn的子空间,其中R为实数集.()3.一个线性变换在不同基下的矩阵可能相同.()4.两个矩阵的特征多项式相同,则这两个矩阵相似.()5.任一个线性空间V上的每个线性变换σ都有特征值.()6.V是线性空间,σ∈L(V),σ的特征子空间为Vλ,则α∈Vλ,α是σ的属于λ特征向量.()7.度量矩阵一定为正定矩阵.()8.欧氏空间中保持向量长度不变的交换必是正交换.()9.每个n级复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似.()10.欧氏空间V的每个有限维子空间V1都有唯一的正交补.()二．填空题(每小题2分,共20分)1.二次型f(x1,x2,x3)＝tx12＋tx22＋tx32－4x1x2－4x1x3－4x2x3,则t满___.时,二次型是正定的.2.若σ是有限维线性空间V的线性变换,σ是V上的双射变换的充要条件,σ的零度为____.3.V是数域P上n维线性空间,令L(V)＝{σ|σ是V上的线性变换},则dimL(V)＝____.4.V1和V2是欧氏空间V的两子空间,且V1⊥V2,则,V1∩V2＝_____.5.设ε1,ε2,ε3是欧氏空间V的标准正交基,则|2ε1－ε2＋3ε3|＝____6.3级矩阵A的初等因子为则它的有理标准形为,1,)1(2_________7.U和W都是线性空间V的子空间,且V＝U＋W,则V＝U⊕W当且尽当dim(U∩W)＝______.8.已知P[x]n的线性变换σ为:f(x)∈P[x]n,σ(f(x))＝f/(x),则Ker(σ)＝______29.矩阵200021002A的最小多项式为p(x)=_________10.在欧氏空间R3里,向量α＝(1,1,2)与向量β＝(0,1,1)的夹角α,β＝________三．单向选择题(每小题2分,共10分)1.R是实数,在R3中下列子集不是子空间的是().A.W1＝{(x1,x2,x3)∈R3|x1＝x2＝x3};B.W2＝{(x1,x2,x3)∈R3|x3＝0};C.W3＝{(x1,x2,x3)∈R3|x1＝x2－x3};D.W4＝{(x1,x2,x3)∈R3|x2＝1};2.下面命题正确的是()A.dimV＝n,σ∈L(V),σ唯一确定一个n级矩阵;B.dimV＝n,σ∈L(V),σ关于任意基的矩阵是可逆的;C.两个不同的矩阵可能是同一线性变换在不同基下的矩阵;D.两个n级矩阵相似当且仅当它们的秩相等.3.n级方阵A具有n个不同特征值是A与对角阵相似的()A充分必要条件;B充分而非充要条件;C必要而非充分条件;D既非充分也非必要条件.4.设A为正交矩阵,且|A|＝-1,则伴随矩阵A*＝()A.A/;B.-A/;C.A;D.-A.5.设V为n维欧氏空间,σ∈L(V),则下面命题不正确的是()A.若σ是正交换,则σ将标准交基变为标准正交基;B.若σ是正交换,则σ关于任一标准正交基的矩阵是正交矩阵;C.α∈V,若|σ(α)|＝|α|;则σ是正交换;D.若σ保持任意两向量夹角不变的线性变换是正交变换.四．计算题(1小题6分,2、3和4小题各10分,共36分)1．用合同变换法,化二次型f(x1,x2,x3)＝x12＋3x22－2x32－4x1x2＋4x1x3－2x2x3为标准形.32.设A是n级实对称矩阵,且满足A2＋2A＝0,r(A)＝k,求|A＋3E|.3．设.422242224是对角阵使求一个正交矩阵‘AUUUA4．P为数域,已知P3的线性变换σ为:(a,b,c)∈P3,σ(a,b,c)＝(a＋2b－c,b＋c,a＋b－2c),求Im(σ)与Ker(σ)的基与维数.五．证明题(每小题8分,共24分)1.设A是数域P上一个nn的矩阵，证明'AA与相似..0,,,.,,,,,,,,,.22121222121211121AAVnmmmmmmmm线性无关当且仅当证明的一组向量，维欧氏空间是，，，设3.A,B为n级正交矩阵,且|A|≠|B|,证明A＋B是不可.