高等教育概率论论文

《概率论与数理统计》课程论文概率方法在证明等式与不等式中的应用摘要:本文主要介绍了用概率方法证明不等式的关键步骤。通过构造适当的概率模型，运用概率的性质、定理、公式对一些常用的不等式加以证明，并说明了概率方法的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.阐述了概率方法在不等式证明中的应用，显示了概率应用的巧妙性和优越性，不等式的证明方法是多种多样的，本文就利用概率论的思想来证明不等式给出了解题方法，把概率论的思想渗透到不等式的证明中，有助于拓宽接替思路，提高解题能力，理解数学各科间的紧密联系，通过利用概率论的基本性质，随机概率模型，函数的凸凹性，论述不等式证明中的一些概率方法，总结应用概率论的思想证明不等式的方法与技巧。关键词概率方法不等式随机变量概率分布概率随机变量凸函数jensen不等式ProbabilisticmethodtoprovetheequationandinequalityApplicationSONGdaoleiAbstract:Thispaperdescribestheuseofprobabilisticmethodsproveinequalitykeysteps.Byconstructingsuitableprobabilitymodel,usingprobabilisticnature,theorems,formulasforsomecommoninequalitytoproveandillustratetheideaofprobabilisticmethodsinsolvingproblemsofefficiency,simplicityandpracticality.Elaboratedprobabilisticmethodsininequalityproving,showingtheprobabilityofingeniousapplicationsandsuperiority,inequalityisdiverse,thisarticleontheideaofusingprobabilitytheorytoproveinequalitygivesproblem-solvingapproach,topenetrateintotheideaofprobabilitytheoryinequalityinhelptobroadentheideatosucceed,improveproblem-solvingability,understandingoftheclosetiesbetweenmathematicssubjects,throughtheuseofthebasicpropertiesofprobabilitytheory,stochasticprobabilitymodel,thefunctionofconvexity,discussessomeoftheprobabilityofprovinginequalitiesmethods,summarizetheideasofprobabilitytheoryproveinequalitymethodsandtechniques.Keywords:ProbabilisticmethodsInequalityRandomvariableProbabilitydistributionprobabilityConvexfunctionjenseninequality前言概率思想广泛应用于其它学科，用概率方法来解决不等式证明的问题，是概率论研究的重要课题之一。概率方法灵活多样，只要概率模型构造恰当，它可以应用于多种数学问题中。不等式证明中一些不太好解决的问题，用概率知识去解是很方便的，这样我们就能在不等式证明中找到概率的应用。这样的探讨对概率论的发展具有很大意义，对教学工作者的教学也有着一定的作用。针对不同的不等式问题，构造适当的概率模型十分重要，用概率方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以为学习高等属性提供概率论背景，有机结合不同学科之间的关系。概率方法在不等式证明中的应用一直为众多学者所关注，许多学者在这方面做了大量的研究工作.概率论是数学的一个分支，用概率的方法去证明一些不等式是十分可行的，也是十分重要的.著名数学家王梓坤院士在文献[3]中指出：“用概率的方法证明一些不等式或解决其它数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一.”本文通过列举几个实例，根据不等式各自的特点，构造适当的概率模型，选取恰当的概率的性质、定理、公式对不等式进行证明，阐述了概率方法在不等式证明中的应用.不等式是广泛使用的一种技巧性工具，但是在不等式的证明中，除了“x的平方大等于零”等其一般的原理外，统一的方法也不太多。常用不等式的证明方法有：比较法、分析与综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、换元法、抛物线技巧、松弛变量法（引入参数法）等等。其中概率方法又是引入参数法的一种特殊方法，其方法是：先构造一个概率分布为已知的随机变量，若要证与数列{}求和有关的不等式，则的概率质量函数为p{=}=，式中的取值就是数列中，而取各值的则视具体情况而定，然后利用概率论中某些与数学期望有关的不等式得到预期的结果。在证明中，关键是如何构造合理的随机变量与其对应的概率。下面我们就以证明r.bellman迹不等式:tr(ab)3≤tr(a3b3)为例来阐述此方法.1若干引理1980年，r.bellman[1]在oberwolfach举行的第二次国际一般不等式会议上发表了如下结果：如果a、b是n阶正定矩阵，则tr(ab)2≤tr(a2b2)，且匡继昌所著的常用不等式中有关于r.bellman不等式的推广,将其变形后有式tr(ab)3≤tr(a3b3),以下我们用概率方法来证明：引理1设p是二阶正交矩阵，则p可表示成如下形式引理2设，其中λ、µ为非负实数，且其中，则有1)tr(a3b3)=(1+λ3µ3)cos2θ+(λ3+µ3)sin2θ(2)2)ab的两个特征值为（3）其中，z是如下的随机变量：p(z=1+λµ)=cos2θ，p(z=λ+µ)=sin2θ，e(z)表示z的数学期望。证明：1)tr(a3b3)=cos2θ+λ3sin2θ+µ3(sin2θ+λ3cos2θ)=(1+µ3λ3)cos2θ+(λ3+µ3)sin2θ。2)ab类似于(4)式得由特征方程｜ab-xi2｜=0得=x2-［(1+λµ)cos2θ+(λ+µ)sin2θ］x+λµ=x2-［e(z)］x+λµ=0所ab的两个特征值为引理3设且x在λ+µ与λµ+1之间，则tr(ab)3=f(e(z))，tr(a3b3)=e［f(z)］。证明：由(3)可知(ab)3的特征值为从而=f［e(z)］其次，同理f(1+λµ)=1+λ3µ3(2)tr(a3b3)=(1+λ3µ3)cos2θ+(λn+µn)sin2θ=f(λ+µ)cos2θ+f(1+λµ)sin2θ=e［f(z)］引理4：则在λ+µ与1+λµ之间g(x)非负。证明：先证g(x)在λ+µ与1+λµ之间是增函数。对g(x)求导得：所以g(x)在λ+µ与1+λµ之间是增函数。其次再证g(λ+µ)和g(1+λµ)非负。g(λ+µ)=(λ+µ+3｜λ-µ｜)(λ+µ-｜λ-µ｜)3-(λ+µ-3｜λ-µ｜)(λ+µ+｜λ-µ｜)3，若λ≥µ＞0则令φ(u)=2u4-4u3+4u-2，u≥1，则g(λ+µ)=8µ4φ(λ/µ)由于φ’(u)=4［2u3-3u2+1］令ψ’(u)=2u3-3u2+1可知ψ’(u)≥0而ψ(1)=0从而ψ(u)≥0故φ’(u)≥0又φ(1)=0从而φ(u)≥0所以有g(λ+µ)≥0若0＜λ≤µ则g(λ+µ)=8λ4φ(µ/λ)≥0总之g(λ+µ)≥0。同理可得g(1+λµ)≥0。综合上述两个步骤得：g(x)在λ+µ与1+λµ之间非负。2主要结果定理设a、b是二阶非负定矩阵，则：tr(ab)3≤tr(a3b3)，n∈n(5)证明对任意的二阶非负定矩阵a、b，存在二阶正交阵p、q使得其中λi≥0、µi≥0，i=1、2。下面我们先证一种特殊情况：当时(5)式成立，(其中λ、µ非负，p是二阶正交阵)为此，令z为一随机变量，其分布律为：z1+λµλ+µpcos2θsin2θ0≤θ≤2π根据引理1和3有tr(a3b3)=e[f(z)］、tr(ab)3=f［e(z)］由taylor公式f(x)=f[e(z)］+f'[e(z)](x-e(z))+f´(ζ)(x-e(z))2/2其在x中ζ与e(z)之间。其中g(x)如引理4所述，由引理4知g(x)在λ+µ与1+λµ之间非负，又(x2-4λµ)3/2在λ+µ与1+λµ之间非负，因此f´(x)在λ+µ与1+λµ之间非负，由于z只取λ+µ与1+λµ两值，因此有：f(z)=f［e(z)］+f'[e(z)][z-e(z)]+f´(ξ)［z-e(z)]2/2其中ξ在z与e(z)之间，因而在λ+µ与1+λµ之间，故f´(ξ)≥0，从而f(z)≥f［e(z)］+f'[e(z)][z-e(z)]所以有e［f(z)］≥f［e(z)］即下面，我们对一般的二阶非负定矩阵a、b来证(5)式成立。设其中q1，q2是二阶的正交矩阵，且λ1≥λ2，µ1≥µ2。若λ1=0或µ1=0，则结论是显然的，因此不妨设λ1＞0，µ1＞0，则令p=q2´q1，λ=λ2/λ1，µ=µ2/µ1，则由于p是二阶正交阵，λ≥0，µ≥0，故根据前面对特殊情况的证明知：故得到定理的结果：tr(ab)3≤tr(a3b3)定理证毕。2构造概率模型证明不等式有些不等式的证明往往比较复杂,而且具体的直观含义也比较抽象.如果能够建立起适当的概率模型,赋以一些随机事件或随机变量的具体含义,再利用概率论的理论加以证明,则常常能使证明过程得到简化.同时还可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景,沟通各数学分支之间的联系.2.1利用期望的性质证明不等式例1证明niiiniiniibanba12211)())((2分析由数学期望的性质：)(及当随机变量与相互独立时有)(，可得0)(2，从而222。证明设随机变量随机变量与相互独立，的概率分部为p(=ia）=n1(i=1,2,…,n),的概率分部为p(=ib）=n1，(i=1,2,…,n).则E=n1niia1,E=n1niib1,niian1221,niibn1221,又因为222，从而niniiiniiniibanban1122112)(1))((12即niiininiiiniiniibanbanba122112211)(()())((2例2设0ix(i=1,2,…,n),则有nxxxxxxnnn......2121证明建立随机模型,设随机变量的概率分布为p(=ix)=n1,其中0ix,i=1,1,…,n.由数学期望的性质：E(ln))ln(,ininiixnxn111lnln1,)...ln(...ln2121nxxxxxxnnn,即nxxxxxxnnn......21212.2利用方差的性质证明不等式例2证明1221)(nnnnnnacac，其中nc0且1nnc=1.分析根据随机变量方差公式22)(D及0D可得22)(.证明构造随机变量概率分布为p(=na)=nc(n=1,2,…,nc0,1nnc=1.),则当的期望存在时，E=1nnnac,2=12nnnac,由22)(，得1221)(nnnnnnacac例3已知naaaa,...,,,321都是正数且其和为1，求证：21...1232222121aaaaaaaaann分析根据随机变量方差公式22)(XXDX