高等数学下学期复习资料第七章

1第七章微分方程一、微分方程的基本概念定义：含有未知函数及其导数（或微分）的等式称为微分方程。如果未知函数是一元函数，则其满足的微分方程称为常微分方程；如果未知函数是多元函数，其导数就是偏导数，其所满足的微分方程称为偏微分方程。在微分方程中出现的未知函数导数（或偏导数）的最高阶数，称为微分方程的阶，若用某个函数及其各阶导数代入微分方程中的未知函数及其对应的各阶导数后，微分方程成为恒等式，则称此函数为微分方程的解。如果微分方程的解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。如果微分方程中的未知函数及其各阶导数都是一次幂的，则称它为线性微分方程。二、一阶微分方程1．变量可分离的微分方程：可以改写成dxxgdyyh)()(，两边积分得到dxxgdyyh)()(，由此所确定的函数就是变量可分离的方程的通解.例1求微分方程yxey2'的通解.例2设)(xf连续可微，且满足)(xfdtextf0)(，求)(xf的非积分表达式.练习：一曲线在两坐标轴之间的任何切线段都被切点平分，求此曲线族.解：设切线L与曲线切点为P=(x,y)，在x和y轴上交点分别为A和B，因为P为AB的中点，所以A=(2x,0)，B=(0,2y)。根据导数的几何意义（切线L的斜率），得到dy/dx=(2y-0)/(0-2x)=-y/x.分离变量dy/y=-dx/x，积分lny=-lnx+lnC22.齐次微分方程：)(xygdxdy.可以通过变换xyxu)(,化为变量可分离的微分方程xuugdxdu)(求解.例3求微分方程tan()dyyxyxdxx的通解.（通解为Cxxy)sin(.）3.一阶线性微分方程：)()(xQyxPdxdy.0)(yxPdxdy称为一阶线性齐次方程，0)(xQ时的方程称为一阶线性非齐次方程。用常数变易法可求得解公式：()()()PxdxPxdxyeQxedxC＋例4求yyx通解。例5求通过点（1，1）且在点（x,y）处切线斜率等于xxyln的曲线的方程练习：求满足方程20)(2)(xdxxfxfx的解)(xf.3三、高阶微分方程的降阶法1.)(xfy型的微分方程：方程两边关于x积分，得到1)(Cdxxfy；再积分，就得到通解.例6：求微分方程sin2cosyxx满足初始条件2)0(y，1)0(y的解。2.),(yxfy型的微分方程：方程右端不显含y。令)(xpy，则dxdpy，于是方程降为变量p关于自变量x的一阶方程),(pxfdxdp，如果此一阶方程的通解为),(1Cxp，则由方程),(1Cxpdxdy，可求出原方程的通解.例7解微分方程xyyx4.（原方程的通解为212||lnCxCxy）练习：求0)'(''22yyx的过点)0,1(，且在此点与1xy相切的积分曲线．3.),(yyfy型的微分方程方程的右端不显含自变量x。若令)(ypdxdy，则dydppdxdydydpdxdpy，因此方程降为变量p关于变量y的一阶方程),(pyfdydpp.若能求出它的通解),(1Cyp，再由方程),(1Cypy可得到原方程的通解.4例8解微分方程0)(2yyy四、二阶线性微分方程解的结构)()()()(xfyxcyxbyxa,其中)(xa,)(xb,)(xc称为微分方程的系数，如果系数全为常数，则方程称为常系数线性微分方程。)(xf做线性微分方程的自由项，如果0)(xf，方程称为线性齐次微分方程，否则称为线性非齐次微分方程。1.如果函数)(1xy与)(2xy是二阶线性线性齐次方程0)()()(yxcyxbyxa的两个解，则)()(2211xyCxyCy也是方程的解，其中21,CC是任意常数。2.如果在区间I上两个函数)(1xy和)(2xy之比是一个常数，即kxyxy)(/)(21或kxyxy)(/)(12，则称)(1xy和)(2xy在区间I上是线性相关的，否则，则称)(1xy和)(2xy在区间I上是线性无关的。3.如果)(1xy和)(2xy是二阶线性线性齐次方程0)()()(yxcyxbyxa的两个线性无关的解，则)()(2211xyCxyCy就是该方程的通解，其中21,CC是两个任意常数。4.如果)(xyp是)()()()(xfyxcyxbyxa的一个特解，)(xyc是0)()()(yxcyxbyxa的通解，则)()(xyxyypc是)()()()(xfyxcyxbyxa的通解。五、二阶常系数线性微分方程1.二阶常系数线性齐次微分方程的解法：0cyybyacba,,为实常数，0a。20arbrc称为微分方程0cyybya的特征方程。（1）042acb.0cyybya的通解为2121xrxreCeCy（2）042acb.0cyybya的通解为)(1112121xrxrxrexCCxeCeCy.（3）042acb.0cyybya的通解为)sincos(21xCxCeyx.例9：解方程02yy；09yy;20yyy；032yyy；5例10．方程0y9y的一条积分曲线通过点)1,(，且在该点和直线x1y相切，求这条曲线.练习求微分方程03'4''yyy满足初始条件10)0(',6)0(yy特解．2.二阶常系数线性非齐次微分方程的解法：)(xfcyybya（1）xnexPxf)()(型：方程具有如下形式的特解：)()(1110xnnnnkxnkpeBxBxBxBxexQxy其中，)(xQn是与)(xPn同次（n次）的待定多项式，而k的取值，按不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根，依次取0，1或2.例11求523yyy,2)0(,1)0(yy的特解例12求微分方程xeyyy22通解.练习求微分方程xyye的通解。6第八章空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.空间直角坐标系（1）三条坐标轴，三个坐标面,八个卦限，（2）点的坐标：空间的点M和有序数组x,y,z之间存在一一对应关系，记为M（x,y,z）（3）M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)间的距离|M1M2|=212212212)()()(zzyyxx.2.向量的概念，（1）向量的模（向量的长度，向量大小）；零向量.单位向量；这两个向量相等.（2）；向量的数乘；定理1设向量a≠0,那末，向量a与b平行（记作a‖b）的充分必要条件是：存在唯一常数λ使得b=λa.二、向量数量积1.向量a,b的数量积a∙b=∣a∣∙∣b∣cos(ba,)，也称为“点积”或“内积”.（1）a·a=∣a∣2.（2）对于两个非零向量a、b,a⊥b的充分必要条件是a·b=0.（3）数量积还符合交换律、分配律.2.向量数量积的坐标表达：a·b=axbx+ayby+azbz例1设3,5,2a，2,1,4b，当，满足2时，ba与zo轴垂直？例2已知}1,2,1{a和},0,1{cb的夹角为3/，求c。3.向量b在向量a上的投影向量，记作projab；数值bcosθ也称为b在a方向上的投影，记作compab.compab=∣b∣cos(ba,)=bbaba=aba=bea,projab=（compab）·ea.例3设a={2,0,-1},b={1,2,4},求b在a上的投影向量和投影.projab=compab·ea=}52,0,54{}1,0,2{5152.7三、向量的向量积1.向量a,b的向量积是一个向量，记为a×b,∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin(ba,),(等于以a,b为邻边的平行四边形面积)a×b同时垂直于a与b，并且a，b，a×b符合右手法则.2.力矩M等于r与F的向量积，即M=r×F.3.向量积的性质：（1）a×a=0.这是因为向量a与a的夹角为零.(2)对两个非零向量a、b，a×b=0的充分必要条件是a‖b.(3)b×a=-a×b.4.向量积的坐标表达式:a×b=zyxzyxbbbaaakji.例4设a={2,0,-1},b={1,2,4},求a×b.练习已知空间三点(1,1,1)P，)5,4,2(Q，)7,1,3(R，求一向量，使它垂直于过RQP,,三点的平面，并求三角形PQR的面积．四、平面及其方程1.点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA，平面过),,(0000zyxM，法向量nCBA,,，2.一般式方程:0DCzByAx,3.截距式方程:1czbyax，4.点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离222000CBADCzByAxd例5求过点)8,3,1(且与平面09643zyx平行的平面方程．例6一平面过点)1,0,1(且平行于向量}1,1,2{a和}0,1,1{b,试求这平面的方程．例7求平行于z轴，且过点)1,0,1(1M和)1,1,2(2M的平面方程．练习分别按下列条件求平面方程：(1)平行于xOz面且经过点(2,1,3)；(2)经过原点及点0(1,3,2)P，且与平面8z2yx4垂直，(3)通过z轴和点(3,1,2)8五、空间直线及其方程1.对称式方程:pzznyymxx000,直线过点),,(0000zyxM,{,,}mnp为方向向量，也称为点向式方程.2.参数式方程:.,,000ptzzntyymtxx3.一般式方程:.0,022221111DzCyBxADzCyBxA(直线看作是两个相交平面的交线)例8求过),,(1111zyxM、),,(2222zyxM两点的直线方程．例9求过点)4,2,0(且与两平面12zx和23zy平行的直线方程．例10求过点)2,1,0(且与直线tztytx211垂直相交的直线方程.练习化直线L的一般式方程032,012zyxzyx为对称式和参数式方程．六、直线平面之间的关系1.平面间的关系：П１：01111DzCyBxA，П２：02222DzCyBxA．平面的夹角为，212121),cos(cosnnnnnnП１、П２相互垂直的充分必要条件是21nn，即0212121CCBBAA．П１、П２相互平行的充分必要条件是21//nn，即212121CCBBAA2.直线间的关系：设21,ss分别是直线Ｌ１，Ｌ２的方向向量，),(21ss．两直线L１、L２相互垂直的充分必要条件是21ss，两直线L１、L２相互平行的充分必要条件是21//ss．93.平面与直线的关系：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角.4.通过空间直线可以作无穷多个平面，所有这些平面的集合称为过直线Ｌ的平面束．设Ｌ为两平面П１和П２的交线，其方程为.0,022221111DzCyBxADzCyBxA过直线Ｌ的平面束方程为0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA.例11已知空间两点)2,1,3(),1,2,1(21MM，求过1M点且与直线21MM垂直的平面方程．(07332zyx．)例12过点)2,1,3(且通过直线12354zyx的平面的方程.例13求过点)3,0,2(且与直线01253,0742zyxzyx垂直平面方程。练习一平面