高考中的常用数学方法配方法待定系数法换元法

高考中的常用数学方法配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为().(A)32(B)14(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为222zyx,因此需将对称式222zyx写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xzyzxyzyxzyx=62-11=25∴5222zyx,应选C.例2．设F1和F2为双曲线1422yx的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是().(A)1(B)25(C)2(D)5分析及解：欲求||||212121PFPFSFPF(1),而由已知能得到什么呢？由∠F1PF2=90°,得20||||2221PFPF(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221PFPFPFPFPFPF,故2421)16|||(|21||||222121PFPFPFPF∴1||||212121PFPFSFPF,∴选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为25,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222bxay,∵25e,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：2224axy(1),故只需求出a可求解.设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|=22)5(yx(2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|=222)5(44yay(3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222ayPQ(y≥a或y≤-a).二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a4分类讨论.(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,∴令4452a,得a2=4∴所求双曲线方程为1422xy.(2)当a4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,∴令445)4(4522aa,得a2=49,∴所求双曲线方程为14944922xy.注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11xxff,试求f(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y=f(x)=ax+b(a0),可知)(1)(1bxaxf,∴124)(11])(1[1)]([2211xbabaxabbxaaxff.比较系数可知：)2(12)(1)1()0(4122babaaa且解此方程组,得21a,b=2,∴所求f(x)=221x.例5．如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线922yx(x0,y0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.分析及解：设A(x,y),如图所示,则ABCDS(4-x)(4-y)(1)此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy(2)这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.因此,只需设t=x+y,则xy=292t,代入(2)式得S=16-4t+27)4(212922tt(3)S表示为变量t的二次函数,∵0x3,0y3,∴3t23,∴当t=4时,SABCD的最小值为27.此时,27,4xyyx)222,222()222,222(或的坐标为得A注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.例6．设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若212221)()(xxxx≥3,求k的取值范围.解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221xxxxxxxxxxxx≥3,以kxx221,421xx代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0,∴045|2|22kk解得k∈(-52,)∪[52,+].例7．点P(x,y)在椭圆1422yx上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.解：∵点P(x,y)在椭圆1422yx上移动,∴可设sincos2yx于是yxyxyxu24222=sin2cos2sin4cossin4cos422=]1sincos)sin[(cos22令tsincos,∵)4sin(2cossin,∴|t|≤2.于是u=23)21(2)1(222ttt,(|t|≤2).当t=2,即1)4sin(时,u有最大值.∴θ=2kπ+4(k∈Z)时,226maxu.例8．过坐标原点的直线l与椭圆126)3(22yx相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方程整理得036)31(22xxk(*)由韦达定理,221316kxx(1),221313kxx(2)又F(1,0)且AF⊥BF,∴1BFAFkk,即1112211xyxy,将11kxy,22kxy代入上式整理得1)1(21212xxxxk,将(1)式,(2)式代入,解得312k.故直线l的倾斜角为6或65.注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.例9．设集合A={Rxaxxx,024|1}(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；(2)当a∈B时,不等式x2-5x-6a(x-4)恒成立,求x的取值范围.解：(1)令t=2x,则t0且方程0241axx化为t2-2t+a=0(*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,则Δ=0或0)0(0f即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}.(2)当a=1时,113x3+11,当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),则当a≤0时不等式)4(652xaxx恒成立,即当a≤0时,g(a)0恒成立,故xxg1040)0(≤4.综上讨论,x的取值范围是(113,4).高中数学解题思想之换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,2]。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)（a1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程1313xx＝3的解是_______________。6.不等式log2(2x－1)·log2(2x1－2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝t22＋t－12，对称轴t＝－1，当t＝2，ymax＝12＋2；2小题：设x2＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,loga4]；3小题：已知变形为11an－1an＝－1,设bn＝1an，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以an＝－1n；4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0,△＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝13，所以x＝－1；6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)2，解得－2y1，所以x∈(log254,log23)。Ⅱ、示范性题组：例1.实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5（①式），设S＝x2＋y2，求1Smax＋1Smin的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元，设xSyScossinαα代入①式求Smax和Smin的值。【解】设xSyScossinαα代入①式得：4S－5S·sinαcosα