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江西省莲塘一中李树森2017高考讲坛讲座导数作为研究函数的重要工具,也是进一步学习高等数学的基础,一直受到命题者的重视与青睐,导数的应用已成为命题的必考点,且常考常新.既有利用导数确定函数的单调区间的问题,又有不等式恒成立及存在有解问题.不等式的证明等,这类试题难度较大,灵活性较强,与解析几何相比更没有一定的套路,设计这些试题是对学生进行理性思维训练的良好素材,要求备考者切实选择好解决问题这样才有利于培养学生良好的思维能力和分析问题解决问题的能力,本专题结合近十年来全国卷的导数试题考查特点总结出关于导数与不等式常见处理的六大解题策略策略一:隐零点问题“设而不求法”在利用导数探究函数性质的过程中,我们常常遇到某些难以确定的极值点或某些难以计算的代数式,这时我们并不正面求出点的坐标,而是利用该点满足的条件式进行代换消元以解决这一棘手问题.例1.(2012年全国新课标全国卷21题)设函数()2xfxeax。(1)求)(xf的单调区间;(2)若1a,k为整数,且当0x时,()'()10xkfxx,求k的最大值。解析:(1)函数)(xf的定义域为(-∞,+∞),且'()xfxea。当0a时,'()0fx,)(xf在(-∞,+∞)上是增函数;当0a时,令'()0xfxea,得lnxa。令'()0xfxea,得lnxa,所以)(xf在(ln,)a上是增函数,令'()0xfxea,得lnxa,所以)(xf在(,ln)a上是减函数,(2)若1a,则()2xfxex,'()1xfxe。所以()'()1()(1)1xxkfxxxkex,故当0x时,()'()10xkfxx等价于1(1)11111xxxxxxexexxkxeee,即当0x时,11xxkxe(0x)。①例1.(2012年全国新课标全国卷21题)设函数()2xfxeax。(1)求)(xf的单调区间;(2)若1a,k为整数,且当0x时,()'()10xkfxx,求k的最大值。令1()1xxgxxe,则221(2)'()1(1)(1)xxxxxxeeexgxee。由(1)知,函数()2xhxex在(0,)单调递增,而(1)30he,2(2)40he,所以()hx在(0,)存在唯一的零点。故'()gx在(0,)存在唯一的零点。设此零点为,则(1,2)。当(0,)x时,'()0gx;当(,)x时,'()0gx。所以()gx在(0,)的最小值为()g。又由'()0g,可得2e,所以1()1(2,3)1ge,由于①式等价于()1(2,3)kg,故整数k的最大值为2。例2.(2016年全国新课标2卷理科21题改编)证明:当[0,1)a时,函数2e=(0)xaxagxxx有最小值.设gx的最小值为()ha,求函数()ha的值域.解析:由(1)知,当时,的值域为,只有一解.使得,0x2e2xxfxx1,2e2ttat02t,4e2e2xxxxaxax24e2exxaxxaxagxx322e2xxxaxx01a,当时,单调减;当时,单调增记,在时,,∴单调递增∴.(0,)xt()0gx()gx(,)xt()0gx()gx222e1ee1e22ttttttatthattte2tktt0,2t2e102ttkttkt21e24hakt,隐零点问题解决方法大致分为三步:第一步,用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程0()0fx,并结合()fx的单调性得到零点的范围;第二步:以零点为分界点,说明导函数()fx的正负,进而得到()fx的最值表达式;第三步,将零点方程适当变形,整体代人最值式子进行化简证明;有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小,我们将其称为隐形零点三部曲。导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代入即可。策略二:端点验证、破解不等式纵观近几年的高考试题,利用导数求不等式中某一参数的试题的难度在不断增加,通过对最近几年高考试题中的不等式恒成立问题的研究发现,分离参数和讨论求最值有时很难解决这类试题,但是若对某个端点进行验证,那么就可以比较轻松地找到破解这类题目的有效方法,1.求导后灵活运用放缩,快速确定充分条件例3.(2012年全国新课标1理科)设函数()fx。(Ⅰ)若0a,求()fx的单调区间;(Ⅱ)若当0x时()0fx,求a的取值范围。21xexax解析:(1)当0a时,()1xfxex,'()1xfxe。当(,0)x时,'()0fx;当(0,)x时,'()0fx。故()fx在(,0)单调递减,在(0,)上单调递增。(2)'()12xfxeax。由(1)知1xex,当且仅当x=0时等号成立。故'()2(12)fxxaxax,从而当(12)0a,即12a时,'()0fx(0x),而(0)0f,于是当0x时,()0fx。由1xex(0x),可得1xex(0x)。从而当12a时,'()12(1)xxfxeae(1)(2)xxxeeea,故当(0,ln2)xa时,'()0fx,而(0)0f,于是当(0,ln2)xa时,()0fx。综合得a的取值范围为1(,]2。例4.设函数2()2ln(1)fxaxaxx,其中aR.(1)讨论()fx的单调性;(2)若1()1xfxex在区间(0,)内恒成立(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.解析:(1)212421()22(1)11axaxafxaxaxxx当0a时,()0fx,()fx在(1,)内单调递减.当0a时,()0fx,有112xa.此时,当11,12xa时,()0fx,()fx单调递减;当11,2xa时,()0fx,()fx单调递增.(2)方法一:令11()1xgxxe,则1()0(1)xxexgxex(易证)当0a,0x时,2()(2)ln(1)0fxaxxx.故当()()fxgx在区间(0,)内恒成立时,必有0a.例4.设函数2()2ln(1)fxaxaxx,其中aR.(1)讨论()fx的单调性;(2)若1()1xfxex在区间(0,)内恒成立(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.当102a时,1102a.由(1)可知函数()fx在1(0,1)2a上单调递减,即1(0,1)2xa时,()(0)()fxfgx,不符合题意,舍。当12a时,令()()(),(0)hxfxgxx,则221111()22221(1)(1)1xxhxaxaaxaxxexx222(1)2(1)1(1)axxx22(1)2(1)1(1)xxx所以()hx在0x时单调递增,所以()(0)0hxh恒成立,即()()fxgx恒成立,满足题意。综上,1,2a.例5.已知函数()ln(1)1xfxeax,其中,aR1x.(1)当1a时,求函数()fx的单调区间;(2)若()1fx对0x恒成立,求a的取值范围.解析:(1)当1a时,()ln(1)1xfxeax,故1()1ln(1)1xfxexx,令1()1ln(1)1gxxx,则2211()1(1)(1)xgxxxx,故当10x时,()0gx,有()(0)0()0()gxgfxfx单调递减;当0x时,()0gx,有()(0)0()0()gxgfxfx单调递减,因此()fx在(1,)单调递减;(2)法一:由题1()1ln(1)xefxax对任意的0x恒成立,令1()ln(1)xehxx,即21ln(1)1()ln(1)xxexxhxex,令1()ln(1)1xexxx,则2(1)11()(1)1xxexexxx2(1)0(1)xxex,故在(0,)单调递增,当x时,11xe,ln(1)x,因此()0hx,所以0a.000xhxhx′例5.已知函数()ln(1)1xfxeax,其中,aR1x.(1)当1a时,求函数()fx的单调区间;(2)若()1fx对0x恒成立,求a的取值范围.例5.已知函数()ln(1)1xfxeax,其中,aR1x.(1)当1a时,求函数()fx的单调区间;(2)若()1fx对0x恒成立,求a的取值范围.法二:由题可知()1()ln(1)1xfxhxaxe对任意的0x恒成立,(1)()11xxaaxehxexx,①当0a时,显然()0()(0)0hxhxh满足题意;②当0a时,令()(1)xxaxe,则()0xxxe,故()(0)1xa,ⅰ若1a,则()0()0()(0)0xhxhxh,矛盾;ⅱ若10a,因为1110aee,所以111(1)0aeahee,矛盾.综上知0a.2.对原函数巧妙实施放缩,将原函数形式简单化近年高考导数题中频繁出现含“ln,xxe”的式子,如何处理这类函数的恒成立问题,笔者认为解决这一类型题规律性很强,常见的方法有:(1)将原函数变形,使其分布在两边.(2)将xe进行放缩,求导后变形为有理项,下面举几个规律性特别强的此类题共同研究如下:例4.设函数2()2ln(1)fxaxaxx,其中aR.(1)讨论()fx的单调性;(2)若1()1xfxex在区间(0,)内恒成立(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.解析:(1)212421()22(1)11axaxafxaxaxxx当0a时,()0fx,()fx在(1,)内单调递减.当0a时,()0fx,有112xa.此时,当11,12xa时,()0fx,()fx单调递减;当11,2xa时,()0fx,()fx单调递增.(2)由1()1xfxex,即1()01xfxex因为1xex,所以1xex,所以211()2ln(1)111xfxeaxaxxxxx令21()2ln(1)11xaxaxxxx,只要求()0x211()2(1)11(1)xaxxx,此时(0)0,()x在0x的附近必须为增函数,所以(0)0,即210a,得12a,事实上当12a,211()2(1)11(1)xaxxx211(1)11(1)xxx2110(1)xx所以()x在0x时单调递增,所()(0)0x恒成立,例4.设函数2()2ln(1)fxaxaxx,其中aR.(1)讨论()fx的单调性;(2)若1()1xfxex
本文标题:导数与不等式综合问题求解策略(李树森)
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