高考数学(理)大一轮复习精讲课件第九章计数原理与概率随机变量及其分布第六节几何概型

第六节几何概型基础盘查几何概型(一)循纲忆知1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型)．(二)小题查验1．判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()√√×2．(人教B版教材例题改编)平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是_____．a－ra3．(2015·陕西质检)在区间[20,80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50,75]内的概率为____．解析：选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.5124．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为____．解析：如图，如果点M位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB＞90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB＞90°的概率P＝12×π×1222＝π8.π8考点一与长度角度有关的几何概型(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]P(A)＝构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度[题组练透]1．(2015·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为()A．34B．12C．14D．13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有12，2，长度为32，P＝322＝34.2．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A．45B．35C．π60D．π3解析：由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.3.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为____．解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为60360＝16.16求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．[类题通法]考点二与体积有关的几何概型(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]P(A)＝构成事件A的区域体积试验全部结果所构成的区域体积.[典题例析](2015·济南一模)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD内的概率为________．解析：设事件M＝“动点在三棱锥A­A1BD内”，P(M)＝VA-ABD1三棱锥VABCD-ABCD1111长方体＝VA-ABD1三棱锥VABCD-ABCD1111长方体＝13AA1·S△ABDVABCD-ABCD1111长方体＝13AA1·12S矩形ABCDAA1·S矩形ABCD＝16.答案：16[类题通法]对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[演练冲关]在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．π12B．1－π12C．π6D．1－π6解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr3＝12×43π×13＝23π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.答案：B考点三与面积有关的几何概型(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划交汇命题的问题.(3)与定积分交汇命题的问题.角度一：与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2015·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A．3＋316πB．3＋34πC．4π3＋3D．16π3＋3解析：由正弦定理BCsinA＝ACsinB＝2R(R为圆的半径)⇒BC＝20sin60°，AC＝20sin45°⇒BC＝103，AC＝102.那么S△ABC＝12×103×102sin75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为S△ABC圆的面积＝253＋3102π＝3＋34π.答案：B角度二：与线性规划交汇命题的问题2．(2015·广州一模)任取实数a，b∈[－1,1]，则a，b满足|a－2b|≤2的概率为()A．18B．14C．34D．78解析：如图所示，则事件|a－2b|≤2所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线a－2b＝－2分别交直线a＝－1与y轴于点E－1，12，F(0,1)．所以|BE|＝12，|BF|＝1.所以S△BEF＝12|BE|·|BF|＝12×12×1＝14，易得△DHG≌△BEF.因此S△DHG＝S△BEF＝14，故阴影部分的面积S＝S四边形ABCD－2S△BEF＝22－2×14＝72.由几何概型的概率公式可知，事件|a－2b|≤2的概率P＝SS四边形ABCD＝7222＝72×14＝78，故选D.3．(2015·哈师大附中模拟)已知Ω＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y＝x2与y＝x12围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为_____．角度三：与定积分交汇命题的问题解析：如图，曲线y＝x2与y＝x12围成的区域面积为∫10(x12－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.而集合Ω对应的面积为4，故由几何概型计算公式可知点P落入区域A的概率为134＝112.112[类题通法]求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“课后演练提能”见“课时跟踪检测(六十六)”(单击进入电子文档)谢谢观看