高考数学平面向量与数列(命题方向把握+命题角度分析)

8平面向量线性运算及综合应用问题1．(2012·广东)若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝()．A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)2．(2012·四川)设a，b都是非零向量．下列条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()．A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|3．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|4．(2012·新课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.1．高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等．2．平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题．1．要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征．2．由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识.必备知识向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．必备方法1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN→＝ON→－OM→(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．一．平面向量的概念及线性运算常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识．同时，要加强三角形法则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主．【例1】►(2010·湖北)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()．A．2B．3C．4D．5(1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．(2)有的问题可以采用坐标化解决更简单．【突破训练1】如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析法一如图，OC→＝OB→1＋OA→1，|OB→1|＝2，|OA→1|＝|B1C→|＝4，∴OC→＝4OA→＋2OB→.∴λ＋μ＝6.法二以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，3)，B－12，32.由OC→＝λOA→＋μOB→得，λ－12μ＝3，32μ＝3，∴μ＝2，λ＝4，∴λ＋μ＝6.答案6二．平面向量的数量积数量积是平面向量最易考查的知识点，常考查：①直接利用数量积运算公式进行运算；②求向量的夹角、模，或判断向量的垂直关系，试题较容易．也常常与解析几何结合命制解答题．【例2】►(2012·临沂质检)如图，△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→＝()．A．2B．3C．4D．6平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．【突破训练2】(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()．A.5B.10C．25D．10三．平面向量与三角函数的交汇在近年高考中，三角函数与平面向量相结合来命制综合问题是高考考查的热点，三角函数的变换与求值、化简及解三角形等问题常以向量为载体，复习时应注意解题的灵活性，难度不大．【例3】►(2012·河北衡水调研)已知向量a＝(sinx，－1)，b＝cosx，32.(1)当a∥b时，求cos2x－3sin2x的值；(2)求f(x)＝(a＋b)·b的最小正周期和单调递增区间．解(1)由a∥b，得32sinx＋cosx＝0，即tanx＝－23，∴cos2x－3sin2x＝cos2x－6sinxcosxsin2x＋cos2x＝1－6tanx1＋tan2x＝4513.(2)因为a＝(sinx，－1)，b＝（cosx，32）∴a＋b＝（sinx＋cosx，12）f(x)＝(a＋b)·b＝(sinx＋cosx)cosx＋34＝12(sin2x＋cos2x)＋54＝22sin（2x＋π4）＋54，所以最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，故单调递增区间为【kπ－3π8，kπ＋π8】(k∈Z)．平面向量与三角函数结合的这类题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后利用三角函数基本公式求解．【突破训练3】在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．解(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45，又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5，所以S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)对于bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝25.【巩固练习】【练习1】►(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为____________；DE→·DC→的最大值为____________．【练习2】(2011·新课标全国)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|1⇔θ∈0，2π3；p2：|a＋b|1⇔θ∈2π3，π；p3：|a－b|1⇔θ∈0，π3；p4：|a－b|1⇔θ∈π3，π.其中的真命题是()．A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4【练习3】►(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．A.2－1B．1C.2D．2【练习4】(2012·天津)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R，若BQ→·CP→＝－32，则λ＝()．A.12B.1±22C.1±102D.－3±2221．解析以AB→，AD→为基向量，设AE→＝λAB→(0≤λ≤1)，则DE→＝AE→－AD→＝λAB→－AD→，CB→＝－AD→，所以DE→·CB→＝(λAB→－AD→)·(－AD→)＝－λAB→·AD→＋AD→2＝－λ×0＋1＝1.又DC→＝AB→，所以DE→·DC→＝(λAB→－AD→)·AB→＝λAB→2－AD→·AB→＝λ×1－0＝λ≤1，即DE→·DC→的最大值为1.2．答案：A[∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－12，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝a·b＞－12，∴θ∈0，2π3；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜12，∴cosθ＝a·b＜12，∴θ∈π3，π，故p1，p4正确，应选A.]3．解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x，1－y)，∴|a＋b－c|＝1－x2＋1－y2＝x－12＋y－12，法一如图，c＝(x，y)对应点在AB上，而①式的几何意义为P点到AB上点的距离，其最大值为1.法二|a＋b－c|＝x－12＋y－12＝x2＋y2－2x－2y＋2＝3＋2－x－y＝3－2x＋y，由x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤3－2＝1，最大值为1.答案B4．答案A9等差、等比数列的基本问题本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．必备知识1.等差数列的有关公式与性质(1)an＋1－an＝d(n∈N*，)．(2)an＝a1＋(n－1)d.(3)Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(4)2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；③等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．2.等比数列的有关公式与性质(1)an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)an＝a1qn－1.(3)Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．(4)a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝amqn－m；②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；③等比数列{an}(公比q≠－1)的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等比数列．必备方法1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．3．等差、等比数列的判定与证明方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数