高考数学第二章第2讲

第2讲函数的定义域和值域第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母_________________．(2)偶次根式函数被开方式_______________．(3)一次函数、二次函数的定义域为___________．(4)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为________．(5)y＝tanx的定义域为_______________________．不等于零大于或等于0RRxx≠kπ＋π2，k∈Z栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是________．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为____________________；当a＜0时，值域为________________________________．Ry|y≥4ac－b24ay|y≤4ac－b24a栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)y＝kx(k≠0)的值域是________．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是________．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是________．(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．(7)y＝tanx的值域是________．{y|y≠0}{y|y＞0}RR栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．求函数值域的六种基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求值域．(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(2016·杭州模拟)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0，4]C．[0，4)D．(0，4)C解析：因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，所以0≤y＜4.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．函数y＝2x－x的定义域是()A．(－∞，－1)∪(－1，0)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，0)C解析：要使函数有意义，需要x－x≠0，x≥0，解得x0且x≠1，所以函数的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．(必修1P17例1(1)改编)函数y＝x＋1＋12－x的定义域为_________________________________．[－1，2)∪(2，＋∞)4．若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是__________________．[－1，＋∞)解析：因为x－4有意义，所以x－4≥0，即x≥4.又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.所以其值域为[－1，＋∞)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度：(1)求分式型函数的定义域；(2)求无理型函数的定义域；(3)求对数型函数的定义域；(4)求抽象函数的定义域．考点一求函数的定义域(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为()A．(2，3)B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4]D．(－1，3)∪(3，6](2)函数f(x)＝1－|x－1|x－1的定义域为_________________．C[0，1)∪(1，2]栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)(2016·莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝f（2x）log12（2－x）的定义域为()A.32，＋∞B.32，2C.32，＋∞D.12，2B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)要使函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3有意义，只需4－|x|≥0，x2－5x＋6x－30，所以－4≤x≤4，x2且x≠3，解得2x3或3x≤4，即函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.(2)由1－|x－1|≥0x≠1⇒0≤x≤2x≠1⇒0≤x1或1x≤2.所以f(x)的定义域为[0，1)∪(1，2]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)要使函数y＝f（2x）log12（2－x）有意义，需满足3≤2x≤6log12（2－x）0⇒32≤x≤302－x1⇒32≤x2.故选B.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用本例(2)变为函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a0且a≠1)，结果如何？解：由1－|x－1|≥0ax－1≠0⇒0≤x≤2x≠0⇒0x≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值集合，而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.(1)(2016·中山一模)函数f(x)＝lg（1－2x）的定义域为()A．(－∞，0]B．(－∞，0)C.0，12D.－∞，12(2)函数y＝lg（2－x）12＋x－x2＋(x－1)0的定义域为______________________________________________．A{x|－3x2且x≠1}栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)要使函数有意义，应满足1－2x0，lg（1－2x）≥0，解得x≤0，故选A.(2)由2－x0，12＋x－x20，x－1≠0得x2，－3x4，x≠1，所以－3x2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3x2且x≠1}．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])；(2)y＝1－x21＋x2；(3)y＝x＋4x(x＜0)；(4)f(x)＝x－1－2x.考点二求函数的值域栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，因为y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，所以0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．(2)y＝1－x21＋x2＝21＋x2－1，因为1＋x2≥1，所以0＜21＋x2≤2.所以－1＜21＋x2－1≤1.即y∈(－1，1]．所以函数的值域为(－1，1]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)因为x＜0，所以x＋4x＝－－x－4x≤－4，当且仅当x＝－2时等号成立，所以y∈(－∞，－4]．所以函数的值域为(－∞，－4]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(4)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是－∞，12.法二：(单调性法)f(x)的定义域为－∞，12，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)≤f12＝12，即函数的值域是－∞，12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用求值域的常用方法(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．[注意]求函数值域的关键是重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．2.求下列函数的值域．(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x2－xx2－x＋1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)法一：y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝x－3x＋1，得yx＋y＝x－3.解得x＝y＋31－y，所以y≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1，因为x2－x＋1＝x－122＋34≥34，所以0＜1x2－x＋1≤43，所以－13≤y＜1，即函数的值域为－13，1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用已知函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域为R，求实数k的值．考点三与函数定义域、值域有关的参数问题[解]函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋