随机振动地震分析

随机结构激励模型及随机振动反应分析结构在服役期间，必将受到各种荷载的作用。对于建筑结构，在服役期间不可避免的会受到风力的作用，而且甚至会受到地震的作用；海洋上的结构，如海上风力发电高塔，海洋平台等，会受到海洋波浪的作用；行驶在路面上的车辆，由于路面的不平顺使得车辆受到动力作用；飞机在飞行中由于大气的自由流动也会受到扰动。这些作用在结构上的荷载，不仅随着时间发生变化，而且具有明显的随机性。而对于随机动力荷载下结构响应的问题，确定性的动力分析无法考虑随机性，随机振动理论应运而生。EquationChapter1Section1随机振动的物理数学基础早在30年代已基本奠定。1827年Brown对悬浮在水中微小花粉粒子杂乱运动的观察，为最早的系统对随机激励响应的实验研究。19世纪后期Maxwell和Boltzmann用统计方法描述系统可能状态和达到的概率，但没有考虑统计随时间的演化。1919年Rayleigh用“随机振动”一词描述一等价于平面随机行走的声学问题。用随机方法研究动力学行为始于1905年，Einstein从理论上解释了Brown运动，1915年Smoluchowski扩展了Einstein的结果并进行实验研究。1908年Langevin导出含有随机项的微分方程，成为随机微分方程的第一个例子，Fokker于1915年、Plank于1917年、Колмогоров于1931年、伊藤于1946年都对随机微分方程的研究作出贡献。1933年Андронов等应用随机微分方程讨论随机扰动下一般动力系统的运动。1920年Taylor引入相关函数概念，Wiener于1930年和Хинчин于1934年分别建立了谱的理论，这些数学工具首先应用于通讯和控制系统而不是结构和机械的强度分析，因为工程技术尚无此要求。随机振动的研究始于50年代中期。由于喷气和火箭技术的发展在航空和航天工程中提出一系列问题，如大气湍流引起的飞机颤振，喷气噪音导致的飞行器表面结构声疲劳，传动系统中滚动件不光滑而啮合不完善的损伤积累，火箭推进中运载工具有效负载可靠性等，都促使研究者运用已有数学工具，并借鉴这些工具在通讯等学科中的应用以解决面临的工程问题。Miles于1954年和Powell于1955年分别研究了飞行器结构颤振损伤积累的时间无规和空间涨落。1955年Morrow和Muchmore把谱分析引进随机振动并建立了结构随机响应等基本概念。1957年Erigen研究了连续体的随机振动并讨论振型相关性。1958年Crandall主编《随机振动》的出版标志着随机振动这一振动力学分支的诞生。60年代以来，随机振动在应用和理论方面都发展迅速。振动测试技术是随机振动应用的前提。在70年代之前基本采用模拟式仪器。由于计算机技术的迅速发展及1965年Cooley和Tukky发明快速Fourier变换算法，70年代以来数字式测试设备广泛采用。在此基础上系统的识别与诊断及随机振动实验技术有很大发展，应用范围也愈来愈广泛，由飞机和火箭扩展到汽车、船舶及高层建筑、海洋工程结构等。在理论研究中，非线性随机振动备受重视。1959年Caughey研究提出随机等效线性化方法，而该方法在1954年便被Booton应用于控制系统。1961年Crandall建立随机摄动法。1966年以后，Stratonovich、Khasminskii、Papanicolaou与Kohler等发展了随机平均法。结构随机振动分析，一方面要研究随机激励模型，地震、海浪、风等荷载形式都是极为复杂的，模拟这些随机动力荷载，即要掌握大量的数据资料，也要把握其内在的物理机制，这些工作都不是轻而易举能够解决的；另一方面研究随机振动分析方法。对于线性的结构，由于服从叠加原理，能够较为容易的解决。而非线性结构，对于实际的结构，即使是确定性的动力问题，都是难以求解的，随机振动更是困难。1.随机结构激励的一般模型随机激励的一般模型可分为平稳模型和非平稳模型两种。平稳模型就是平稳随机过程。结构随机激励的平稳模型记为()Fst，则()Fst的均值是常数、相关函数只依赖于时间差，即()()()()1221,,ssssFFFFmtmRttRtttt===-(1.1)当()0sFmt=时，()Fst的相关函数与其谱密度()FsSw之间有如下关系：()()1()()2ssssiFFiFFRSedSRed(1.2)即()sFR和()sFS构成Fourier变化对。当()0sFmt¹时，()Fst的协方差函数()sF与其()sFS之间有上述关系式(1.2)。对于结构随机激励的平稳模型，我们只要知道它的均值和相关函数、或者均值和谱密度就可完全确定这个模型的统计特性。在确定具体的结构随机激励平稳模型时，我们总是根据大量的实测时程曲线去统计确定均值和相关函数的具体表达形式、或者均值和谱密度的具体表达形式，二者只要知道其中一个，即可由关系式(1.2)求得另一个。不同的平稳随机模型主要反映在相关函数或谱密度的具体表达形式上的不向。结构随机激励的平稳模型就是非平稳随机过程，可以分为两类：均匀调制非平稳模型和调制非平稳模型。(1)均匀调制非平稳随机模型：这种随机模型又称为可分离式非平稳随机模型，它可以表示为确定性函数与平稳随机过程的乘积，即()()()FFstftt=(1.3)式中()ft是表示随机激励非平稳特性的确定性函数；()Fst是平稳随机过程。假定模型(1.3)中()Ft的均值()0Fmt=因此，平稳随机过程()Fst的均值()0sFmt=。对于均值不为零的非平稳随机激励()F't，我们取()()()'FF'Fttmt=-，从而有模型(1.3)的形式。当已知()Fst的相关函数()sFR或者谱密度()sFS时，非平稳随机干扰()Ft的相关函数和谱密度可容易地求得为12()()sFFRftftR(1.错误!未找到引用源。)2()()sFFSftS(1.5)与平稳随机模型类似，非平稳随机模型的统计特性也完全由其均值和相关函数或者是均值和谱密度所确定。在工程实际中，为了建立起这种随机激励的非平稳模型，在大量实测记录统计分析的基础上，首先合理确定平稳随机过程()sFR的统计特性——相关函数或者谱密度，其次合理确定反映该随机干扰非平稳待性的确定性函数()ft。(2)调制非平稳随机模型：这种非平稳随机模型可以表示为()()(),itFtAted¥--?=Zò(1.6)式中(),Atw是时间t和频率w的确定性函数，称为调制函数；()Zw是均值为零的正交增量过程，它通过下式与某个平稳过程()sF联系起来：()()2sFEdZSd轾=犏犏臌(1.7)式中()sFSw是()sF的谱密度。这里假定模型(1.6)中()Ft的均值()0Fmt=。对于均值不为零的非平稳随机激励()F't，总可以取()()()'FF'Fttmt=-，从而有模型(1.6)的形式。调制非平稳随机模型的相关函数和谱密度可分别表示为()()()()()21*1212,,,sittFFRttAtAtSed¥--?=ò(1.8)()()()2,,SFFStAtS=(1.9)式中*表示复共轭。因此，调制非平稳随机模型的统计特性完全由调制函数(),Atw和平稳过程()sFt的统计特性——相关函数或谱密度完全确定。1.1.脉动风速随机模型风荷载是高耸结构(如烟囱、电视塔、输电线塔和桅杆等)、高层建筑、大跨和桥梁结构等的主要荷载。作用于结构的风力主要与风速有关。脉动风速的随机模型：实测资料表明，在一次大风过程中，在风速最强的时段内，任意固定高度处的风速总是围绕其平均值平稳地变化，因此，风速(),vzt可以分解为两部分：平均风速()avz和脉动风速(),dvzt，即风速可以表示为()()(),,advztvzvzt=+(1.10)平均风速沿高度的变化规律一般符合指数律或对数律。(1)指数律：根据实测结果的分析，Davenport等人提出的指数律可以表示为()aaassvzzvz骣÷ç÷ç=÷ç÷÷ç桫(1.11)式中sz和asu分别是标准高度及标准高度处的平均风速；a是地面粗糙度（指数律用）。地面粗糙的程度愈大，a亦愈大。(2)对数律：根据近地风速摩擦层的理论研究和实测结果的分析，Гaндин等人提出的对数律可以表示为()00lnlnlnlnaassvzzzvzz-=-(1.12)式中0z是风速等于零的高度，随地面粗糙程度而变化，因而也称为地面粗糙度（对数律用）。地面粗糙的程度愈大、0z愈大。脉动风速是随机的，可以用随机过程来表示，而且大量的实测分析结果表明，它是平稳随机过程，且由(1.10)知，脉动风速的均值是零。利用风速实测记录统计确定脉动风速的相关函数或谱密度的方法通常有两种：一种是将强风记录进行相关分析直接得到相关曲线，然后通过曲线拟合求得相关函数的具体表达形式；另一种是将强风记录通过超低频滤波器直接得到谱曲线，然后通过曲线拟合求得谱密度的具体表达形式。1.2.地震地面运动的随机模型由于地震发生、震源机制、传播途径与场地条件等因素的随机性，使观测地震动加速度时程具有显著的随机性。地震动的随机性包括两个层面：一是地震活动的随机性，地震活动性指的是地震活动的时、空、强度和频度的规律；另一层面是地震动过程的随机性。基于随机过程理论研究地震动源于真实强震记录的获得，1947年Housner针对强震记录所表现出的强烈不规则性，提出用随机过程理论解释和描述地震动的加速度时程。至今，已有多种随机地震动模型提出。按所提出的随机地震动模型平稳与否，可以将现有的描述地震动随机性的方法归纳为平稳地震动随机模型和非平稳地震动模型。鉴于非平稳模型的不成熟性，在此只讨论平稳模型。(1)时域平稳模型1947年，Housner提出用平稳脉冲序列模拟真实地震动，假定地震动加速度可以简化成一系列集中脉冲的集合，每个脉冲的大小一定，但到达时刻是随机的，其分布是均匀的。加速度的表达式为：()()giiatVttd=-å(1.13)式中，()gat为t时刻的加速度，V表示集中速度脉冲，()td为Dirac函数，it表示第i个脉冲的到达时刻。尽管这个模型存在着一些问题，但作为一个开创性工作是值得充分肯定的。Goodman等推广了Housner的概念，仍然假定地震动加速度为一系列集中脉冲，但不仅每个脉冲的到达时刻是随机的，而且大小也是随机的。彼此独立，有相同的分布。时域平稳模型只能在现象上获得和真实地震动相似的时间序列，但是真实地震动的特征，如能量在频域的分布等，无法通过这种方法体现。因此，在工程上时域平稳模型没有得到广泛的应用。(2)频域平稳模型和时域上模拟相比，在频域上进行地震动模拟的研究更为活跃。针对地震动加速度时程功率谱并不是常数这一特点，Kanai提出了过滤白噪声模型。他假定基岩传来的地震波是白噪声，基岩上的土层为单自由度体系，求这个单自由度体系的绝对加速度功率谱，并用这个谱来模拟地表加速度功率谱。谱的表达式为：()22022221414ggAgggSSwx骣÷ç÷ç+÷ç÷ç÷ç桫=?轾骣骣犏鼢珑鼢珑犏-+鼢珑鼢犏珑鼢珑桫桫犏臌(1.14)式中，,ggwx分别为场地土卓越频率和阻尼比，0S为白谱强度，这个谱具有单峰形状。后来Tajimi用上式求解了建筑物结构的最大反应。1964年，Housner和Jennings根据美国若干地震动记录确定了Kanai公式中的参数，并证明了无阻尼速度反应谱和功率谱有近似关系。由Kanai-Tajimi模型可容易地得到地面运动速度和位移的功率谱函数2()()vASS=(1.15)4()()xASS=(1.16)但是，当0w=时，()vSw和()xSw出现明显的奇异点，它使地面速度和位移无界，这显然是与实际不符合的。为了克服这一缺点，胡聿贤和周锡元引入一低频减量cw，提出一种修正模型：4202222(2)()()(2)ngggAnngggcSSwx