随机误差和粗大误差.

第2章随机误差对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其实验标准偏差。【例】【解】(1)用贝塞尔公式估算17.72ixxn210.1171isxxn0.12极差法估计标准偏差maxmin117.9,7.5,7.97.50.4xx11110.40.133.17sdnndnndnnd21.1392.97163.5331.69103.08173.5942.06113.17183.6452.33123.26193.6962.53133.31203.7472.70143.4182.85153.473max0.22i真值未知，计算最大残差0x插值计算得11110.57(0.570.45)0.5610k故max1110.560.220.13isk最大误差法n123456781020nk/11.771.020.830.740.680.640.610.570.45使用场合：（1）在测量次数不同时进行对比测量。第一次测量为n1次，求得算术平均值第二次测量为n2次，求得算术平均值两次测量所得的算术平均值的实验标准偏差将不等，即：精度不等。不等权测量nsx（2）用不同精度的仪器等进行比对测量。不同的测量仪器，不同的测量条件，不同的测量方法，不同的测量次数，不同的测量人员等。权的概念对于等权测量－各测得值同样可靠－算术平均值作最后测量结果。对于不等权测量－各测得值可靠程度不一样－？应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重小一些。各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为该测量结果的“权”，记为p。理解为：当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。权的确定原则按测量条件的优劣、测量仪器和测量方法所能达到的精度高低、重复测量次数的多少、测量者水平的高低等因素确定权的大小。测量精度愈高，可靠性愈高，应给予的“权”应愈大。权的确定方法测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小。例如：有m组测值，各组测量次数不等，若所测值单次测量的精度相同，这时各组测值的权可按测量次数确定：共m组第1组：n1次，p1＝n1第2组：n2次，p2＝n2……第m组：nm次，pm＝nm即pi＝ni分析：设有m组不等精度测量结果，所有测值单次测量的精度相同，而各组测量次数不同。试分析各组的权与各组算术平均值的实验标准偏差的关系。1,2,,ixissimnK所以可得即12222212mxxmxnsnsnssK12222212mxxmxpspspssK1212222111::::::mmxxxpppsssLL结论：每组测量结果的权与其相应的算术平均值的标准偏差平方成反比。因为单次测量的精度相同，设单次测量标准偏差为s，已知标准偏差求权若已知不等权测量中各测得值xi的标准偏差为si，则k比例系数。因权是相对的，故k值可任意选取，通常k值的选取以计算方便为准。2iikpsiizpx将不等权测量的各组测量结果皆乘以自身权数的平方根，此时得到的新值z的权数就为1ixip加权算术平均值若对同一被测量进行ｍ组不等权测量，得到ｍ个测量结果，设相应的测量次数为，即根据等权测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值应为12m,,xxx12m,,nnn1111211112m12,,nnniimiiiimlllxxxnnn111121111nnnmiimiiiiiixllln加权算术平均值的计算公式1111211112m12,,nnniimiiiimlllxxxnnn111121111nnnmiimiiiiiixllln112211221111mmmmmmiiiimiiimiinxnxnxpxpxpxxnppxp加权算术平均值的计算公式由最大似然原理，观测数据的似然函数为1,,,,niiiiiLxsfxs221,,exp22iiiiixfxsss2211,,exp22nniiiiiixLxsssmax221min2niiixs21202niiixs21202niiixs22110nniiiiixss22111nniiiiixss11miiimiipxp加权算术平均值的标准偏差对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果若所有单次测量的标准偏差均为σ，12,,,,mxxx1,2,,ixiimn121xmmiinnnn比较上面两式,还可得由任意一组的算术平均值的标准偏差，来求加权算术平均值的标准偏差的公式为：11iiiixxxmmiiiinpnp各组算术平均值的标准偏差为：加权算术平均值的标准偏差为：上述由任意一组的标准偏差来求加权算术平均值的标准偏差的公式，虽然是由所有单次测量的标准偏差均为σ（只是测量次数不同）时推导出的，但也适合于其它情况下的加权计算【具有普遍性】：1iixxmiipp讨论不等精度测量问题时，不等精度的多组测值间可构造出一组权，这种构造是唯一的吗？1212222111::::::mmxxxppp权是一种比值，不是唯一的。根据权的定义：各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为该测量结果的“权”，记为p。例题：对一钢卷尺进行三组不等精度测量，其结果为1122332000.45,0.052000.15,0.202000.60,0.10xxxxmmmmxmmmmxmmmm求：各组测量结果的权、加权算术平均值、加权算术平均值的实验标准偏差。解：123222222123111111::::::16:1:4(0.05)(0.20)(0.10)xxxppp4,1,16321ppp各组测量结果的权：加权算术平均值：11162000.4512000.1542000.602000.461614miiimiipxxpmm加权算术平均值的实验标准偏差为：1160.050.0441614iixxmiipp＝mm而不等权测量还可能出现第二种实际问题类型，即：当各组测量结果的标准偏差为不可知时。miimixixpmvpi112)1(xxvixi其中：m——为测量组数pi——为各测量组的权这时应利用以下的公式计算：以上为不等权测量时可能出现的第一种实际问题类型，即：当各组测量结果的标准偏差为可知时的计算分析方法。例2工作基准米尺在连续3天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm（3次测量的）；999.9416mm（2次测量的）；999.9419mm（5次测量的）；求：算术平均值及算术平均值的标准偏差。解：按测量次数来确定权ppp1233,2,5,11999.94253999.94162999.94195325999.9420miiimiipxxpmm112211999.9425999.94200.00050.5999.9416999.94200.00040.4999.94219999.94200.00010.1xxxvxxmmmvxxmmmvxxmmm211222(1)30.52(0.4)5(0.1)(31)(325)0.24imixixmiipvmpm第四节置信区间2112()Pxfxdxp置信区间计算公式测量总体的概率密度置信概率或置信水平,为显著水平期望值下半置信区间宽度，上半置信区间宽度概率密度呈对称分布的情形，常取()fx1212,()fxp12高置信水平下的置信区间半宽度又称为极限误差1p置信区间半宽度的常用表示方法kppk或或置信因子标准偏差kpk确定置信区间半宽度的关键是在已估计标准偏差下如何确定置信因子一、正态分布的置信区间1、总体标准偏差已知的情形()pPxk置信区间计算公式,kk221exp22kkxdx202exp22ktdt2()1k置信区间半宽度为()ppxk(单次测量)()ppxkn(n次测量)2~(,)xN~(0,1)xNn~(,)xNn2、大样本标准偏差已知的情形s置信因子由查表得到pk2()1ppk总体标准偏差未知，但已知大样本标准偏差置信概率或置信水平p正态积分函数，可查表获得()x()ppxks(单次测量)()ppxksn(n次测量)k2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.5p0.99730.00273.300.9990.0013、小样本标准偏差已知的情形置信区间半宽度为(单次测量)()pxts()/pxtsn置信区间半宽度为(n次测量)自由度，为样本容量1nn值可通过查分布表得到，为置信水平pttp~()xts~()xtsn总结大样本小样本单次测量多次测量置信因子正态分布t分布标准偏差单次测量标准偏差算术平均值的标准偏差1175.0175.0875.04510ixxn210.03030.030(mm)1isxxn用游标卡尺对某一试样尺寸测量10次，假定测量服从正态分布，并已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1)求算术平均值及其标准偏差；(2)求算术平均值的极限误差（=0.9973）。【例】【解】(1)分别计算0.0303()0.0096(mm)10ssxnp（2）先按小样本估计，查分布临界值表,t0.9973(101)4.09t有0.9973()(1)()4.090.00960.040()xtnsxmm再按大样本估计，查正态分布临界值表，0.99733.0k有0.9973()()3.00.00960.029()xksxmm综上所述：（1）算术平均值是处理等权测量数据的一个最佳估计量；（2）一般按贝塞尔公式计算和，样本数时只能用最大误差法计算；（3）算术平均值的极限误差一般按确定。()/sxsnss1n(1)()ptnsx计算结果思考与练习题3-1如果测量完全正相关，以测量次数为2的简单情形，试证明其算术平均值的标准偏差仍与单次测量的标准偏差相同。3-2什么是残差？常用什么符号表示？它与误差的定义有何不同？试验证如下两条性质：（1）残差之和等于零；（2）残差的平方和满足最小二乘原理，即有min)()(2xxxLi3-5以下是甲乙两人用同一台仪器重复测同一个试样3次所得的数据甲：56.1,57.2,57.9乙:56.8,56.7,56.5试问甲需要测量多少次取平均,所得结果的分散性指标才能赶上乙测量1次的分散性指标。3-10对某量重复测量5次，测得值为22.31，22.41，22.29，22.23，22.36，如可不计有其他影响测量结果的来源，试