随机过程试题

《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分）1、简述随机变量的特征函数的定义。2、设随机相位正弦波𝑋(𝑡)=𝑎cos(𝜔𝑡+Θ)，其中𝑎，𝜔为常数，Θ~U(−𝜋,𝜋)。写出该过程的两条样本函数。3、简述复合Poisson过程的概念。4、二阶矩过程{𝑋(𝑡),𝑎≤𝑡≤b}均方可积的条件。二、（本题10分）某电报局接收的电报数𝑁(𝑡)组成Poisson流，平均每小时接收3次电报，试求：（1）一上午（8点到12点）没有接收到电报的概率；（2）两次电报到达时间间隔𝑇的分布。三、（本题12分）设齐次Markov链{𝑋𝑛}的状态空间𝑆={0,1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵为(0.6000.600.40000.400.20.4000.20.60.10.100.60000.8)（1）对S进行分类并说明各状态类型；（2）求平稳分布。四、（本题13分）一个服务系统，顾客按照强度为λ的Poisson过程到达，系统内只有一个服务员，并且服务时间服从参数为𝜇的指数分布，如果系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否则就排队。但是如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。令𝜉(𝑡)表示t时刻系统中的顾客数（包括正在接受服务的）。（1）写出Q矩阵以及转移概率满足的科尔莫格洛夫前进方程和后退方程；（2）求平稳分布。五、（本题13分）设随机过程𝑍(𝑡)=𝑋𝑡2+2𝑌𝑡−2，𝑡0，其中𝑋，𝑌是相互独立的正态随机变量，均值为0，方差分别为𝜎𝑋2和𝜎𝑌2。（1）试问𝑍(𝑡)是否为正态过程，为什么？（2）试求𝑍(𝑡)的相关函数，并判定过程𝑍(𝑡)是否是平稳，是否均方连续，是否均方可导。六、（本题12分）{𝑋(𝑡),𝑡∈𝑅}为零均值宽平稳均方可导的正态过程，相关函数为𝑅𝑋(𝜏)，试求（1）(𝑋(𝑡),𝑋′(𝑡))的联合概率密度函数；（2）(𝑋(𝑡1),𝑋(𝑡2),𝑋′(𝑡1),𝑋′(𝑡2))的协方差矩阵。七、（本题12分）设随机过程𝑋(𝑡)=(cos𝜆𝑡)𝑋+(sin𝜆𝑡)𝑌,𝑡≥0,𝜆0,其中X和Y是相互独立的随机变量,且服从标准正态分布。{()}Xt(1)求的均值函数和自相关函数,并证明它是宽平稳过程；{()}Xt(2)判断的均值和自相关函数是否具有各态遍历性，说明理由。八、（本题12分）设系统的输入为{𝑋(𝑡),𝑡∈𝑅}，输出为{𝑌(𝑡),𝑡∈R}，它们之间有以下关系𝑌(𝑡)=1𝑇∫𝑋(𝑢)d𝑢𝑡𝑡−𝑇其中𝑇为正常数。试求：（1）频率响应函数𝐻(j𝜔)和脉冲响应函数ℎ(𝑡)；（2）当输入是白噪声（𝑅𝑋(𝜏)=𝑠0𝛿(𝜏)）时，求输出𝑌(𝑡)的平均功率。（提示∫sin2𝑥𝑥2d𝑥=π2+∞0）