零点存在性定理的探究课设计

1零点存在性定理的探究课设计一、问题及教材分析教材原问题：3.1.1方程的根与函数的零点观察二次函数32)(2xxxf的图象（如图1），我们发现函数32)(2xxxf在区间[-2，1]上有零点。计算)2(f与)1(f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？函数的零点是新课程新增的教学内容，引入了函数的零点，方程问题就转化为求函数零点的问题，于是方程就可化归到函数中来，从而让学生认识到知识的联系，构建以函数为核心的知识体系。也就是说，函数的零点是方程与函数互相转化的桥梁。对于复杂的方程，很难直接求出其根，我可以转化为对应函数的零点存在性问题，因此就有必要对函数的零点存在性进行讨论。二、教学目标知识与能力目标：理解零点存在性定理的条件，会运用定理对函数零点的存在性进行判断。过程与方法目标：通过零点存在的特征和定理条件的探究，培养学生的数学洞察能力、归纳能力和自主探索思考的能力。情感态度与价值观目标：通过本探究过程，培养学生自主思考、独立解决问题的习惯，同时在解决问题的体验中增强学生的自信心。三、重点难点教学重点：零点存在性定理的探究和理解。教学难点：零点存在性定理的理解。四、教学过程设计一）定理的探究问题1如图2，区间[-5，-4]上有零点，计算(5)f与(4)f的乘积，有什么特点？对于区间[-2，-1],[1，2],[4，5]是否也有这样的特点？为什么？意图：引导学生探究，归纳出存在一个零点的区间的特征．图1图22问题2小组讨论：若有()()0fafb，函数()yfx在区间[a，b]上就一定有零点吗？意图：鼓励学生举出分段函数等反例，让学生深入探索零点存在的条件．问题3由以上可知，函数除了()()0fafb外，还需要什么条件才能保证区间上有零点？意图：引导学生总结归纳出零点存在性定理的“连续不断的曲线”这一条件．通过以上3个问题的探究，学生就很自然地得出零点存在性定理：如果函数()yfx在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线．并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间（a，b）内有零点，即存在c(a，b),使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根．﹒二）定理的理解剖析问题4填空．1）[-5，-4]有＿个零点，(5)(4)ff＿0．2）[-5,-1]有＿个零点，(5)(1)ff＿0．3)[-5，2]有＿个零点，(5)(2)ff＿0．4）[-5，5]有＿个零点，(5)(5)ff＿0．5）若[a，b]有2n个零点，(a)()ffb＿0．6）若[a，b]有2n+1个零点，(a)()ffb＿0．意图：引导学生发现[a，b]中零点个数和(a)()ffb符号的关系．问题5若()yfx在[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且()()0fafb，()yfx一定没有零点吗？意图：引导学生变换角度思考，深入理解定理．问题6若()yfx在[a，b]上有零点，在[a，b]上的图像是连续不断的曲线，一定有()()0fafb吗？意图：定理的逆命题不成立．问题7若()yfx在[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且()()0fafb，()yfx就只有一个零点吗？此时零点个数有什么特点？小组举例说明．意图：让学生注意定理只能判断零点的存在性，而不能具体确定零点的个数，但可进一步确定是奇数个．五、设计反思1、学情分析。本内容之前学生已学习零点的定义，并由熟知的二次函数图像了解了方程的根、函数的零点与函数图象与x轴的交点的关系。于是在这样的基础上，本设计不同于教材，直接从一个一般的函数图象开始，讨论函数零点的特征。2、本设计以学生为主体，采用问题驱动式引导学生逐步深入探究，而问题之间的跨度不大，层层递进，符合认知规律，学生易于接受理解，达到学生自主构建知识结构的目的。3、设计的问题角度多样全面，引导学生从不同角度思考问题，从而对定理有更深刻的理解。