静电场中的导体与电介质一章习题解答

静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8—1A、B为两个导体大平板，面积均为S，平行放置，如图所示。A板带电+Q1，B板带电＋Q2，如果使B板接地，则AB间电场强度的大小E为：［］(A)SQ012(B)SQQ0212(C)SQ01(D)SQQ0212解：B板接地后，A、B两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q1和-Q1，这时AB间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即SQSQSQE01010122板间所以，应该选择答案(C)。习题8—2C1和C2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF，900V。把它们串联起来在两端加上1000V的电压，则［］(A)C1被击穿，C2不被击穿(B)C2被击穿，C1不被击穿(C)两者都被击穿(D)两者都不被击穿答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C1承受的电压为V1，C2承受的电压为V2，则有231221CCVV①100021VV②联立①、②可得V6001V，V4002V可见，C1承受的电压600V已经超过其耐压值500V，因此，C1先被击穿，继而1000V电压全部加在C2上，也超过了其耐压值900V，紧接着C2也被击穿。所以，应该选择答案(C)。习题8—3三个电容器联接如图。已知电容C1=C2=C3，而C1、C2、C3的耐压值分别为100V、200V、300V。则此电容器组的耐压值为［］(A)500V(B)400V(C)300V(D)150V(E)600V解：设此电容器组的两端所加的电压为u，并且用C1∥C2表示C1、C2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C1∥C2与C3的串联。由于C1=C2=C3，所以C1∥C2＝2C3，故而C1∥C2承受的电压为u/3，C3承受的电压为2u/3。+Q1+Q2AB习题8―1图由于C1∥C2的耐压值不大于100V，这要求)V(1003u即要求)V(300u同理，C3的耐压值为300V，这要求(V)45030023u对于此电容器组的耐压值，只能取两者之较低的，即300V。因此，应该选择答案(C)。习题8—4一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一质量为m、带电量为+q的质点，平衡在极板间的空气区域中，此后，若把电介质抽去，则该质点：［］(A)保持不动。(B)向上运动。(C)向下运动。(D)是否运动不能确定。解：在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器”并联，由于这两个“电容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边的，因此由q=CU公式可知，右半边极板的带电量小于左半边的。当抽去介质后，极板电荷重新分布而变为左右均匀，使得右半边极板电荷较抽出介质前为多，因此这时带电质点受到向上的静电力将大于其重力，它将向上运动。所以应当选择答案(B)。习题8—5一个平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E和电场能量W将发生如下变化：［］(A)U12减小，E减小，W减小。(B)U12增大，E增大，W增大。(C)U12增大，E不变，W增大。(D)U12减小，E不变，W不变。解：电容器充电后与电源断开，其极板上的电荷将保持不变。由公式CQU12当将电容器两极板间距拉大，其电容C将减小，这将使其极板间的电势差U12增大；因为极板电荷保持不变，使得板间场强SQE00亦不变；由电容器储能公式1221QUW因电势差U12增大而极板电荷保持不变，故电场能量W将增大。综上所述，应当C1C2C3习题8―3图+Q–Q+qm习题8―4图选择答案(C)。习题8—6一个平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则极板上的电量Q、电场强度的大小E和电场能量W发生如下变化：［］(A)Q增大，E增大，W增大。(B)Q减小，E减小，W减小。(C)Q增大，E减小，W增大。(D)Q增大，E增大，W减小。解：电容器充电后仍与电源连接，其两极板间的电压U12不变。若此时将电容器两极板间距拉大，其电容量C将变小，由公式12CUQ可知，极板上的电量Q将减小；与此同时，由公式dUE12可知，极板间电场也将减小；又由公式21221CUW可知，电场能量W将减小。综上所述，应当选择答案(B)。习题8—7一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度大小E、电容C、电压U、电场能量W四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为：［］(A)E↑、C↑、U↑、W↑(B)E↓、C↑、U↓、W↓(B)E↓、C↑、U↑、W↓(D)E↑、C↓、U↓、W↑解：设未充满电介质时电容器的电容为C0，电压为U0，场强为E0，电场能量为W0。充满电介质后则有001UUUr所以U↓；电场强度的大小变为0001EEdUdUErr所以E↓；电容变为0000CCUQUQCrr所以C↑；电场能量为00020212121WWCQCQWrr所以W↓。综上所述，应当选择答案(B)。习题8—8C1和C2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，则：［］(A)C1和C2极板上电量都不变。(B)C1极板上电量增大，C2极板上电量不变。(C)C1极板上电量增大，C2极板上电量减少。(D)C1极板上电量减少，C2极板上电量增大。解：充电后将电源断开，两电容器的总电量不变，即常量21qq(※)由于两电容器并联，它们的电势差U相等，因此它们所带的电量(q=CU)与它们的电容量成正比，但因C1中插入了介质板，所以C1的电容量增加，即q1↑，由(※)式可知，这时q2应当减少，所以应当选择答案(C)。习题8—9两个薄金属同心球壳，半径各为R1和R2(R1R2)，分别带有电荷q1和q2，二者电势分别为U1和U2，设无穷远点为电势零点，现用导线将两球壳连起来，则它们的电势为：［］(A)U1(B)U2(C)U1+U2(D)(U1+U2)/2解：用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为R2的均匀带电球面，因此其电势为20214RqqU原来两球壳未连起来之前，内球电势为202101144RqRqU外球电势为20212022012444RqqRqRqU[或者：20212022014442RqqdrrqrqdrEldEUR外]因此，2UU所以，应选择答案(B)。习题8—10一平行板电容器充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，已知介质表面极化电荷面密度为。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：［］(A)0(B)r0(C)02(D)r解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为的无限大平行平面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为00022E所以，应当选择答案(A)。习题8—11两块面积均为S的金属板A和B彼此平行放置，板间距离为d(d远小于板的线度)，设A板带电为q1，B板带电为q2，则A、B两板间的电势差为：［］(A)dSqq0212(B)dSqq0214(C)dSqq0212(D)dSqq0214解：如图所示，设A、B两块平行金属板的四个表面的电荷面密度分别为1，2，3和4，则根据电荷守恒有121qSS①243qSS②根据静电平衡条件有0222204030201③0222204030201④联立解得SqqSqq2221322141根据叠加原理，两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；两内侧的电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为SqqE021020302222ABσ4σ3σ2σ1q1q2题解8―11图因而A、B两板间的电势差为dSqqEdUAB0212可以看出，应该选择答案(C)。习题8—12一空气平行板电容器，两极板间距为d，充电后板间电压为U。现将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，则板间电压变成U=。解法Ⅰ：电源断开前后极板带电量不变，因而极间场强不变；由于在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，相当于极板间距变为原来的2/3，因此，板间电压相应地也变为原来的2/3，即UU32解法Ⅱ：设未将电源断开(也未插入金属板)时电容器的电容为C，这时电容器极板的电压为CqU将电源断开后极板的电量将保持不变，但因在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，这相当于极板间距变为2d/3，因而电容器的电容变为CCddCddC2332因此，现板间电压为UCCU32习题8—13A、B为两个电容值都等于C的电容器，A带电量为Q，B带电量为2Q，现将A、B并联后，系统电场能量的增量W＝。解：A、B并联后，系统的等效电容为2C，带电量为3Q，因此，系统电场能量的增量为CQCQCQCQ)2(22)3(212222习题8—14一空气平行板电容器，其电容值为C0。充电后电场能量为W0。在保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，则此时电容器的电容值C=，电场能量W=。解：充满介质后，电容器的电容值增大了r倍，因此有0CCr；由电容器储能公式221CUW充满介质后，两极板间电压U不变，只是电容值增大了r倍，因而其能量相应地增大为原来的r倍，即0WWr。习题8—15半径为0.1m的孤立带电导体球，其电势为300V，则离导体球中心30cm处的电势为U=。解：孤立导体球的电量为RRUCUQ04其电荷分布是一个均匀带电球面，因而其电势分布为RUrRrQU04把r=0.30m、R=0.1m及UR=300V代入上式可得U=100V。习题8—16半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为r的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为和，则介质中电位移矢量的大小为D=；电场强度的大小为E=。解：取半径为r(R1rR2)、高度为h的、与圆筒同轴的两端封闭的柱面为高斯面，根据有介质时的高斯定理有hrhDSdD2侧因此rD2根据电位移与场强的关系可得rDErr002习题8—17两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于各孤立导体球的电容值的一半。证明：设两球分别带电+Q和﹣Q，因为它们相距很远，各自都可以看作“孤立”的。该两球的电势差为RQRQRQUUU000211224)(4所以，该导体组的电容为RUQC0122而对于各孤立导体球的电容则为RC004，因此我们有021CC证毕。习题8—18证明：半径为R的孤立球形导体，带电量为2Q，其电场能量恰与半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量相等。证明：半径为R的孤立球形导体的电容为RC014其带电为2Q时的电场能量为RQRQCQW02021212424)2(21同理，半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量为102022222)4(4221WRQRQCQW习题8—19两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都与地连接。在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)，离子数密度为n，每个离子的带电量为q，如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对于中心平面OO是对称的。试求两板间的电场分布和电势分布。分析：由于电场分布相对于中心平面OO是对称的，因此求板间电场可以考虑用高斯定理。解：设中心