非齐次边界条件下物体导热导温性能分析

1非齐次边界条件下物体导热导温性能分析王钊摘要：对有不同热物性的物体，在首端恒定热流密度的第二类边界条件下，进行一维分析，物体的末端定义为第三类边界条件，即规定了边界上的物体与周围流体间的表面换热系数以及周围流体的温度。采用Dofort-Frankel差分格式进行matlab编程求解，分析首端温度变化速度和最后时间几何体的温度分布，以及稳态下的几何体温度分布，比较不同的热物性对物体导热和导温性能的影响。【关键词】：微分方程；matlab；导热；导温1.引言自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程，并且大多是偏微分方程。同时大多没有解析解，但是可以用用数值方法解出有意义的解。数值解法需要对连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。matlab是目前最流行、应用最广泛的科学和工程计算软件，可以求出偏微分方程的数值解，来对问题进行定量的分析。本文采用Dofort-Frankel差分格式，进行matlab编程求解在第二类和第三类边界条件共同作用下的物体内的温度分布，比较不同的热物性对物体导热速度的影响。2.一维导热微分方程与差分方程模型在直角坐标系中，对一维热传导现象的研究可以得到二阶抛物型偏微分方程，本文分析这种类型方程的混合问题，假设λ、ρ、c为常数后，方程可以理解为在区域:01,0RxtT内求函数,uxt满足方程：220,,0uuLuxttx（1）及初始条件和边界条件：0,01tuxx120,,1,,0utgtutgttT2.1建立差分格式对χ-t平面进行二维网格划分，取水平方向的h为x方向的空间步长，取竖直方向的t为时间步长，使用二组平行直线：jxjh和ktk，可以将矩形区域0,[0,L]T分割成矩形网格。在网格内点外，对t分别采用向前、向后及中心差商公式，对22tx采用二阶中心差商公式，一维热传导方程Dofort-Frankel格式表示为：1111112222kkkkkkjjjjjjttttttahh（2）由Taylor公式可以知道，方程与一维热传导方程相容，截断误差分别为22h。下面对定解条件进行离散化，对于初始条件及第一类边界条件，可以直接得到：1初始条件为：0jjtt，边界条件为：1,0,1,0,1,,1,2,,2,jjjjjNjNjjNjjuuufhuuufh其中1,12,211,22,,,,jjjjjjfjffjf2.2差分格式的求解令2/rah为网格比，则公式（2）可以结合初始条件、边界条件得到差分方程组：1111(12)(12)22kkkkjjjjrtrtrtrt（3）式（3）是3层格式，需要事先知道前面2个时间层上的解，第1层上的解可以通过对初始条件离散得到，第2层上的解可以使用的任意差分格式得到，其余层就可以用这个格式求。3.几何模型与物理参数物体的几何模型定义为长方体，端面为0.01m×0.01m，长度为0.1m。左0.01m×0.01m端面为第二类边界条件，恒定热流，定义为0.05W；右0.01m×0.01m端面为第三类边界条件，指定端面与流体间的表面传热系数为52W/mK，流体的温度指定为与物体的初始温度一致为0℃。几何体的模型始下图1所示：图1实验物体的相同几何模型本文选取四种不同的材料比较物体内温度分布，分别为纯铜、纯铝、纯铁和聚氯乙烯，假设四种材料在实验的过程中，物性参数保持不变，物性如下表1所示：表1四种材料的物性参数/wmk3/kgm/kgcJk21//acsm纯铜39889303868660纯铝236271090210358纯铁80787045544760PC0.21300130084500004.纯铜和PC对比实验编写matlab主程序，格式如下所示：function[Uxt]=temp_change_DF(uX,uT,M,N,C)函数会调用定义的材料物性：导热系数、比热和密度。uX=0.1是指一维空间长度，M是指长度方向的分区间数，本文取10区间，共11点；uT是指计算时间的长度，本文取100秒，N指时间方向的等分区间数，本文100区间；即matlab程序的计算次数为：1111次。计算纯铜的温度分布如下图2所示，图中显示随时间的变化，几何体的一维温度分布：图2纯铜材料随时间变化的温度分布图分析数值解的数据，发现从第11秒开始，几00.020.040.060.080.105010000.050.10.150.20.25空间变量x铜在一边固定热流一边自然对流下的图像时间变量t一维铜的温度变化U1何体的末端才有温度变化。对导热系数最低的PC材料进行同样的分析，温度分布如下图3所示：图3PC材料随时间变化的温度分布图分析数值解的数据，温度传递的非常缓慢。查看首端点随时间变化的温度变化图如图4所示：图4PC材料首端随时间变化的温度变化图从图中可以看到，由于材料的导热系数太小，所以首端点的温度相对要比较高才能传递恒定的热流。查看100秒时，几何体的温度分布图：图5PC材料100秒时的温度分布图分析图5的数值解数据，可以看到，由于PC材料的导温系数过小，在100秒时，温度传递长度为0~0.04m。对比图2和图3，可以看到纯铜和PC在100秒时的温度分别为0.2℃和28℃，在同一个图上面，差别过大使得纯铜的数据看不明显，所以后面分析就不放入PC的数据。5.纯铜、纯铝和纯铁对比实验下面分析纯铜、纯铝和纯铁在首端点的温升，如下图6所示：图6各材料首端随时间变化的温度变化图从图中并结合数值解的数据可以看到，铜从第10秒开始，末端点的温度开始变化，同时首端点温度的开始线性升高；铝也是从第10秒开始，末端点的温度开始变化，同时首端点温度开始线性升高；铁是从第25秒开始，末端点的温度开始变化，同时首端点温度开始近线性升高。从图6中还可以看到铜温度线性升高部分的斜率最小，铝其次，铁最大；这说明铜材在首端点也就是热流导入点的温度上升最缓慢，表明铜的导热能力最好，铝其次，铁的导热能力最差。下面分析纯铜、纯铝和纯铁在第100秒的温度分布，如下图所示：00.020.040.060.080.1050100051015202530空间变量xPC在一边固定热流一边自然对流下的图像时间变量t一维PC的温度变化U01020304050607080901002525.52626.52727.528时间变化t温度变化T/℃PC材料首端在恒定热流0.05W的作用下，温度随时间变化图00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1051015202530在0.04m处，温度为0.006℃长度变化x温度变化T/℃PC材料100秒时温度分布图010203040506070809010000.050.10.150.20.250.30.350.4时间变化t首端点温升铜材料温升铝材料温升铁材料温升1图7各材料在100秒时随时间变化的温度分布图从图7中可以看到，铜材沿长度方向，温度分布最均衡，分析数据温度在（0.1424℃~0.2053℃），说明铜的导温能力最好；铝材沿长度方向温度分布较陡，分析数据温度在（0.1956℃~0.3017℃）即铝材的导温能力比铜差；铁材沿长度方向温度分布最陡，分析数据温度在（0.0698℃~0.3676℃）即铁的导温能力在这三者里最差。6.数据验证计算与稳态温度分布下面通过简略的数值验算数值解，分析纯铜、纯铝和纯铁在50℃时的温度分布，如下图：图8各材料在50秒时随时间变化的温度分布图以铜材料为例，50秒内，首端传递的总热量为：0.05W×50秒=2.5焦耳，假设热量没有通过自然对流散热末端，则这些热量可以使铜的温度升高0.0725℃，与图中铜的数据进行验证，可以认为数值解正确。当稳态时，可以计算出物体的温度分布与首端温度。稳态时，导入的热量等于对流换热量，所以末端的温度为100℃，各种材料在稳态时的温度分布如下图所示：图9铜、铝和铁在稳态的温度分布图图10PC在稳态的温度分布图即在稳态时，纯铜，纯铝和纯铁的首端温度均在100℃左右；而PC的首端温度为350℃。即对导热系数从80~398这个范围，最终稳态时的首末端温差相差不大，即导热能力相当。7.总结由表1中热物性表，比较各材料的导热系数，我们可以看到，铜的导热能力最好，铝其次，铁的导热能力最差。所以铜材在首端点也就是热流导入点的温度上升最缓慢。PC的导热能力最差，所以PC首端点的温升最快，温度也最高。通过分析首端点的温度上升速度，可以相对比较不同材料的导热系00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.050.10.150.20.250.30.350.4长度变化x温度变化T/℃铜材料温度分布铝材料温度分布铁材料温度分布00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.050.10.150.20.250.30.35长度变化x温度分布T/℃铜材料温度分布铝材料温度分布铁材料温度分布00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1100100.1100.2100.3100.4100.5100.6100.7100.8长度变化x稳态时温度分布T/℃铜材料温度分布铝材料温度分布铁材料温度分布00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1100150200250300350长度变化x稳态时温度分布T/℃PC材料温度分布1数。由表1中热物性表，比较各材料的导温系数，我们可以看到，铜的导温系数最高，铝其次，铁的导温系数最低。所以在100秒的时间之后，铜材内的温度分布最平滑，铝其次，铁材内的温度分布最陡。对于稳态计算的结果，通过图9和图10可以看到，最终影响稳态温度的因素是导热系数，密度和比热参数对稳态温度分布没有影响，导热系数越小，首末二端的温差越大，PC的温差达到250℃。对于散热器来说，选择导温系数大的材料，意味着达到热平衡所需要的时间短；选择导热系数大的材料，意味着稳态时冷端和热端的温差小。[参考文献][1]胡建伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:科学出版社,2007[2]郑阿奇.Matlab实用教程[M].北京:电子工业出版社,2005[3]单毅.常微分方程的matlab解法[J].武汉大学学报(工学版),2003,36(z2):150-152[4]李灿,高彦栋,黄素逸.热传导问题的matlab数值计算[J].华中科技大学学报(自然科学版),2002,30(9):91-93