预共轭梯度法求解第一类Fredholm积分方程

预共轭梯度法求解第一类积分方程摘要：在本文中，我们通过使用预共轭梯度法（PCG）研究了带卷积核的第一类Fredholm积分方程的数值解。然后又通过求积法使得积分方程降为Toeplitz体系。因上述体系中的系数矩阵是对称正定的，所以可以使用共轭梯度法来解决。在一般情况下，该体系包含在不聚于1附近的恰当特征值之中。带有恰当预条件的共轭梯度法产生了1附近体系中的聚类特征值。因此，稳定性和收敛速率都得到了保证。关键词：Tpolitz体系，循环矩阵，预共轭梯度法，特征值，积分方程简介在科学与工程上的许多逆问题催生了第一类积分方程解法的发展，即bxaxgdttytxkba;)()()((1)其中)(xg与)(txk是已知函数，)(ty是未知待定函数。尽管若方程的一个解存在，则在)(xg中响应比gy的微小波动将可能变得任意大（Rashed，2003），但这一类形式的积分方程是病态的，因为对一给定的)(txk、)(xg，方程(1)可能无解。有几个逼近于第一类积分方程的数值解法也是我们都知道的。令ihatihaxji,且nabh，假设iitx，ni,,3,2,1,0，然后就有了如下的线性体系：)()()()(,0iijijnijjjijtgttkwtyttkw(2)该体系的系数矩阵是一个Toeplitz矩阵，其中的条件数很大。在诸多的迭代法之中，误差界是由条件数所确定。比如，在共轭梯度法中的误差界是由tkk11和minmaxk所定。其中，t是迭代次数，min、max分别为算子谱特征值绝对值的最小与最大值（Maleknejad，2003）。定义1：若1,0;)(modnjicCnjiij，则10,njiijncC就叫做循环矩阵。若1,0;njittjiij，则10,njiijntT就叫做Toeplitz矩阵。2.Toeplitz矩阵的循环预条件：2.1.Strange的预处理这种预处理是定义为一个矩阵，该矩阵与矩阵T的祝对角线元素一样，并通过完成一个循环来表示这些元素。就T而言，对角线元素js，特别的预处理就是][jisS；对于1,0nji时，有njsnjntnjtSjnnjjj02,20,,　　　　　　　　　　　　　　　　（3）S的一个有趣性质就是最小的1TC和TC均为对称循环矩阵C。2.2.Chan的预处理对于一个nn*的Toeplitz矩阵T的最优预处理，Chan的循环预处理C定义为所有nn*循环矩阵C中，FTC（4）中最小的一个。此处F表示Frobenius范数。对于T，对角线元素jc，Chan的预处理就是][jicC；对于1,0nji时，有njcnjnnjttjnCjnjjj0,0,)(（5）即证明了TC1和TS1的范围随着n趋于无穷而渐趋与一致。这也就证明了TC1的范围是聚于1的附近的。2.3.范数最小化的预处理（最优预处理）除了对Toeplitz体系使用最小的FTC作为预处理之外，也有学者提出了其他的极小逼近。比如，Tyrtyshnikov的循环预处理T就是定义为所有非奇异循环矩阵C和yT中FTCI1（6）的最小者，也称之为最优循环预处理因为它将（6）而不是（4）做最小化处理了。假定C是源于（6）的最优化问题的解：FCTCIn1*min（7）其中*n是秩n的实非奇异循环图的集合。设101njjjQcCC其中01000000100000110000Q代替（7）式，考虑如下问题：FCTCInmin（8）其中n是秩n的实循环图的集合。为了求解（8），让我们考察如下函数ijjninjiiniiFnjjjnyuccfcnTQccccT1010102101101，，，其中,,TQTtruTQQTtrfijTijjjTi求出的偏导数并令之为0，这样就有,1010nnTffccUU其中，10,njiijuU该线性代数系统的解会给出110nycccT，，，的最小点。定理1：对任意的非奇异秩为n的Toeplitz矩阵T，最优循环预处理可以通过nnO2log次运算求出。3、数值结果：在本节中，我们通过一个例子的数值结果以展示PCG法的高效与准确性。所有的运算都是通过使用MATLABv7.6来实现的。例1：考察如下第一类Fredholm积分方程：21;11cos221xxdttytxtx（9）等式（9）由线性方程来代替。为了解决该线性系统，我们可以使用共轭梯度法。在上述例子中，零向量选为最初的猜测向量并且迭代结束的标志是7010rrk。其中kr是CG和PCG方法在k次迭代之后的残差向量。WS：表示共轭梯度法用于无预处理和Simpson正交的情况。SS：表示共轭梯度法用于带有Strange预处理和Simpson正交的情况。OS：表示共轭梯度法用于带有最优预处理和Simpson正交的情况。SUS：表示共轭梯度法用于带有超级优化预处理和Simpson正交的情况。当使用不同的预处理时，迭代的比较由下表1列出。表1：nWSSSOSSUS408727252080156353027120208453932160239654542200312835750结论：该方法论的一个主要结果就是：求解一个大规模的Toeplitz系统问题复杂度可以减少到nnO2log次运算——与使用最速方向Toeplitz求解者的nnO22log次运算相比。使用SUS方法会引起1附近新系统的聚类特征值。在共轭梯度法的算法中，边界误差的稳定性和收敛性得到保证，并且最多n步我们就能得到结果了。