里茨-加廖金方法

里茨－加廖金方法里茨－加廖金方法Ritz-Galerkinmethod求解数学物理方程的近似方法，主要用于椭圆型边值问题,W.里茨于1908年对此做了开创性的工作这类方法从变分原理出发，选定有限个试探函数,,…,，用它们的线性组合[438-04]构造近似解,[kg1]从而把问题归结为确定组合中的系数。极小值原理表达物理基本定律的一种形式，其表达可概括如下：给出一个依赖于物理状态（为一函数）的变量()（数学上称为泛函），同时给出()的容许函数集，即一切容许取的物理状态,则真实的物理状态就是中使()达到极小值的函数。例如弹性力学中著名的极小能量原理的表述是：弹性体在外力作用下的平衡位移使总势能达到极小。这里，总势能是位移函数的泛函。现讨论小变形的均匀弹性膜，膜在区域上的垂直位移用函数(,)表示,假定在边界上膜固定在坐标平面上，即[438-05]，(1)在外力(,)作用下弹性膜的总势能为[438-06](2)它的容许函数集是满足边界条件(1)并使积分(2)存在的全体函数。由极小能量原理得出：弹性膜的平衡位移是中使总势能(2)达到极小的函数，即[438-07]。(3)虚功原理又称虚位移原理，在力学中与极小能量原理同属变分原理。它的一般表述是：平衡系的力对虚位移所作的虚功为零。在弹性膜的例子中,如果仍以表示平衡位移，则虚功原理可表达为：对所有[kg1][kg1]，使[438-08](4)成立。变分问题(3)或(4)确定的平衡位移,也是泊松方程第一边值问题的解，即满足[438-09]式中为拉普拉斯算子。里茨法从与微分方程问题等价的极小值原理出发，选择有限个试探函数[kg1],,…,，在它们的线性组合[439-01]中去找近似解。一般而言，试探函数须属于容许函数集把[439-02]代入(2)，得到[439-03](5)式中[439-04]，[439-05]。由多元微分学可推出极小解[439-06]的系数应满足[439-07](6)故问题归结为求解线代数方程组(6)。加廖金法从虚功方程(4)出发,把近似解表为试探函数，，…，的线性组合[439-06],另选定函数，,…,作为(4)中的虚位移,也须满足边界条件(1)，称为检验函数。将线性组合代入虚功方程(4)，得到[439-09]利用分部积分公式得[439-10]。若取=,可看出方程组(7)即方程组(6)，也就是说这时里茨法与加廖金法一致。由于检验函数的选择可不同于试验函数，另外，对非自共轭问题=不存在等价的极小值问题，但可建立等价的广义虚功方程[439-11]加廖金法仍可用，所以加廖金法是里茨法的推广，它比里茨法更灵活和广泛。里茨－加廖金法的有效使用依赖于试探函数和检验函数的选取，传统的做法是选取代数或三角多项式之类的解析函数，其优点是，对光滑解只需很少几个，近似解就能达到很高的精度。在电子计算机出现之前，这种方法比较切合实际。但这样选取的函数只当区域的形状很特殊才能满足给定的边界条件，故在应用上受到很大限制。随着电子计算机的出现，产生了有限元方法，它继承了里茨-加廖金法从变分原理出发的基本特点,但不用多项式之类的解析函数，而是用剖分插值的方法构造试探函数和检验函数，从而使方法具有极大的灵活适用性，能很好地处理复杂的几何形状、间断介质以及奇性载荷等情况，在科学与工程的计算中获得广泛的使用。