重庆大学高数(下)期末试题四(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1.设,,abc满足条件,acbc则().(A)ac(B)abc(C)bc(D)()abc知识点:向量的运算.难度等级:1.答案:(D)分析:由abac得()0abc,,,abc都非零,所以()abc.2.若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,xxyCeCe其中12,CC为独立的任意常数.则该方程为().(A)xyye(B)20yy(C)0yy(D)0yy知识点:微分方程通解,微分方程,难度等级:1.答案:(D)分析:由通解中的两个独立解,xxee知.方程对应的特征方程的特征根为121,1.因此对应的特征方程是2(1)(1)10.于是对应的微分方程应是0.yy故应选(D).3.设222:(1)1,xyz则2[23]xxyzdV().(A)0(B)3(C)3(D)4知识点:三重积分,对称性,难度等级:2.答案:(D)分析:积分区域关于yoz面对称.22xxyz为关于x的奇函数.积分值为0,余下为3倍体积.球体体积为4/3,故选D.4．设有曲线积分22,4LydxxdyIxy其中L为不过原点的光滑闭曲线,并取正向,则I的值为().命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式(A)0(B)2(C)2(D)知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2.答案:(D)分析:由于内部含有不连续点.不能直接用格林公式.设曲线L到原点最小距离为2,a取曲线222:4Cxya的顺时针方向.与曲线L构成闭区域.在该闭区域上使用格林公式.结果为0.故222222220cossin22.4CaaydxxdyIdxya选D.5.经过两平面4310,xyz520xyz的交线作平面,并使与y轴平行的方程为().(A)142130xy(B)211430xz(C)211430xz(D)211430xz知识点:平面方程,平面束.难度等级:2.答案:(C)分析:设平面的方程为52(431)0,xyzxyz即(14)(5)(31)20.xyz当5时211430xz与y轴平行.6.设()fu具有连续导数.是曲面22zxy与228zxy所围成立体表面之外侧.则zdxdydzdxyxfxdydzyxfy)(1)(1=().(A)16(B)16(C)8(D)因()fu未知.故无法确定.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:2.答案:(A)分析:利用高斯公式可得积分为所围成立体体积.480416,yyDDVdydxdzdydxdz选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7.设函数10()0xfxxx在,上的傅立叶级数的和函数为(),sx则(4)s=__________.知识点:傅里叶级数,和.难度等级:1.答案:1.2分析:傅立叶级数的和函数为()sx是以2为周期的周期函数.(00)(00)1(4)(0).22ffss8.设为平面1xyz在第四卦限的上侧.(,,)fxyz为连续函数.则[(,,)]dd[2(,,)]dd[(,,)]dd______.fxyzxyzfxyzyzxfxyzzxy知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3.答案:1.2重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式分析:原积分1[(,,)],[2(,,)],[(,,)]1,1,13fxyzxfxyzyfxyzzdS1()31.2xyDxyzdSdxdy9.曲线zxyy1在点(2,1,2)处的切线与x轴正向所成的倾角为__________.知识点:曲线的切线,夹角.难度等级:2.答案:.4分析:曲线zxyy1在点(2,1,2)处的切线与x轴正向所成的倾角的正切为zxy在点(2,1)处关于x的偏导数的值.即(2,1)(2,1)tan1,zyx所以.410.设L是从点0,,eeA沿曲线cos,sin,tttxetyetze到点1,0,1B的弧段,则第一类曲线积分222LIxyzds的值为__________.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.答案:3231.3e分析:222220()3tttLIxyzdseeedt3231.3e11.由曲线2,2yxyx所围成的平面薄片其上各点的面密度为21,x则此薄片的质量M为__________.知识点:薄片的质量,难度等级:2.答案:153.20分析:密度函数为被积函数.积分区域为曲线所围.故222221153(1)(1).20xDxMxdxdydxxdy12.设积分曲面是球面222:2,xyzaz则曲面积分222()_____.xyzdS知识点:对面积的曲面积分,难度等级:2.答案:48.a分析:由于投影面有重叠.需将球面分为上下两个半球面计算.12,1:222,zaaxy2222:.zaaxy在曲面上被积函数等于2,az计算合并化简得二重积分2222422248.xyaaadxdyaaxy重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式三、计算题(每小题6分,共24分)13.求初值问题00430,6,10xxyyyyy的解.知识点:二阶线性常系数微分方程的初值问题,难度等级:1.分析:求特征根,写出通解,再求特解.解:特征方程为2430,其根121,3,故通解为123.xxyCeeC代入初值条件可解得124,2.CC从而特解为342.xxyee14.求幂级数2211(!)(2)!nnnxn的收敛域.知识点:幂级数的收敛域,难度等级:2分析:比值法.并讨论端点的敛散性.解:2232221((1)!)(22)!limlim1(!)4(2)!nnnnnxxnnxn2.x当2x时,221221111(!)(!)2(2)!!2(2)!(2)!(21)!!nnnnnnxnnnnn通项极限不为0故发散.幂级数2211(!)(2)!nnnxn的收敛域为2.x15.过两平面0134zyx和025zyx的交线作一平面过点(1,1,1),求该平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何.分析：写出过已知直线的平面束方程.解：设所求的平面方程为431(52)0xyzxyz(1)将点)1,1,1(代入(1)得57.将57代入(1)得所求的平面方程为233226170xyz.16.计算2(),Izxdydzzdxdy其中是抛物面)(2122yxz介于0z及2z之间的部分的下侧.知识点:对坐标的曲面积分.难度等级:3分析:直接计算,化曲面积分为二重积分.解:首先,计算2(),zxdydz其中12,21:2,xzy前侧;22:2,xzy后侧.2()zxdydz22yz(2,2)(2,2)yzo重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式12()zxdydz2)(2dydzxzyzyzDDdydzyzzdydzyzz))(2()2(2222222222222224.yzDyzydydzdyzydz其次,222220011()()4.22xyDzdxdyxydxdydrrdr于是,8.I四、解答题(每小题6分,共12分)17．设曲线积分Ldyxxxfdxxyf2)(2)(在右半平面)0(x内与路径无关,其中(),(1)1,().fxffx可导且求知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:2分析:利用积分与路径无关的条件得微分方程.解:由积分与路径无关的条件知:2()2(),yfxxfxxyx即有1()()1.2fxfxx解上面的微分方程得3212()().3fxCxx将1)(xf代入上式得1.3C所以11()(2).3fxxx18．设为不自交的光滑闭曲线.求sin().gradxyzdr知识点:梯度,曲线积分向量表示.难度等级:2分析:斯托克斯公式解:.记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定.应用斯托克斯公式.可得.五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数zfxy(,)在Pxy000(,)处有连续的偏导数.证明它在P0处沿等值线的切线方向的方向导数为零.知识点:等值线,方向导数,难度等级:2分析:等值线(,)fxyC上一点000(,)Pxy处的法向量为(,),xyff所以切向量为(,).yxff由方向导数的计算公式0zzaa即可得到结[sin()]cos()()gradxyzxyzijk[sin()]cos()()gradxyzdrxyzdxdydz0000dydzdzdxdxdy重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式论.证明:函数zfxy(,)的等值线(,)fxyC上一点Pxy000(,)处的法向量为(,),xyff所以切向量为(,).yxaffzfxy(,)沿此方向的方向导数为0(,)(,)0.yxxyffzzaffaaa20.设)(xf在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数.且0()lim0.xfxx证明级数11nnf绝对收敛.知识点:极限,泰勒中值定理,比较判别法.难度等级:3分析:由已知0()lim0xfxx可得(0),(0)ff,利用泰勒中值定理建立函数()fx与零点间的关系.证明:1.0()lim0xfxx00()(0)lim()lim0.xxfxffxxx00()(0)()(0)limlim0.xxfxffxfxx由泰勒中值定理.存在1(0,),n使得2111()(0)(0)().2ffffnnn211()().2ffnn2.又)(xf在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数.故存在0,M使得().fxM2211().22MfMnnn级数11nnf绝对收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21.在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？知识点:质心,难度等级