重庆大学高数(工学下)期末试题十二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试卷标准格式重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1.设,xyzx则zx().(A)1xxyyx(B)1lnlnxyxyx(C)1lnlnxxyyxxyx(D)1lnxxyyxxx难度等级：2；知识点：偏导数答案:C.2.曲线sec,csc,seccscxtytztt在对应于4t点处的切线方程是().(A)22222xyz(B)22210yzx(C)22222xyz(D)222022xyz难度等级：1；知识点：多元微分学的几何应用答案:B.分析:4t时切点为(2,2,2),切向量(2,2,0).a所以切线方程为222.10yzx与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选(B).3.物质沿曲线23:,,(01)23ttxtyzt分布,线密度为2,y则它的质量为().A12401tttdt(B)12401ttdt(C)12401tttdt(D)122401tttdt难度等级：2；知识点：第一类曲线积分的应用答案:C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试卷标准格式分析:化为定积分,被积函数为22424211(01),2ttttttt只有C符合.4.设2,1mn，m与n的夹角为2,a=4,mn2,bmn23cmn，则23()2()1aabbc().(A)126(B)102(C)103(D)104难度等级：2；知识点：向量代数.答案：(D)分析：2a2222(4)1681620165mnmmnnab222(4)(2)472420214mnmnmmnn22(2)(23)2262bcmnmnmmnn23()2()1aabbc653142211045.设积分区域D由2yx和2yx围成,则(,)Dfxyd().(A)2221(,)xxdxfxydy(B)2210(,)dxfxydy(C)2122(,)xxdxfxydy(D)2120(,)xxdxfxydy难度等级：1；知识点：二重积分答案:(A)分析:四个选项都是先y后x的积分顺序,曲线求交点得为(1,1),(2,4),积分区域为212,2,xxyx显然(D)不符合,(C)下限小于上限不符合,(B)积分限不对,只有(A)符合.6.设积分曲面为球面2222Rzyx的外侧,则322221()()xdydzydzdxzdxdyxyz().(A)0(B)4(C)24R(D)334R难度等级:2;知识点:对坐标曲面积分的计算,高斯公式答案:(B).分析:先将的方程代入被积函数，然后使用高斯公式，故选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.极限00sin2lim11xyyxxy__________.难度等级:2;知识点:多元函数极限答案:4.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试卷标准格式分析:可通过分母有理化和等价无穷小的代换约去分母上的无穷小量,使分母的极限不为零.解:00sin2lim11xyyxxy00sin2(11)lim4.xyyxxyxy8.函数32242zxxyyx的驻点为__________.答案:12,,1,2.33难度等级:1;知识点:多元函数极值分析:驻点处函数的偏导数等于0.解:由26420,420xyzxyzxy解得驻点:12,,1,2.339.设空间区域2222,xyzR：则222__________.xyzdV难度等级:2;知识点:三重积分答案:4.R分析::02,0,0,rR22222000sinRxyzdvddrrdr4.R10.设向量场(23)32,Azyixzjyxk则旋度________.rotA难度等级:1;知识点:旋度答案:2332ijkxyzzyxzyx=246.ijk11.设24(),xfxxe则(69)(0)__________.f难度等级:2;知识点:函数展开成幂级数答案: 0.分析:2244(69)0(1)()(0)0.!nnxnxfxxexfn因为24()xfxxe幂级数的69x的系数为 0.12.设123(),(),()yxyxyx是线性微分方程()()()yPxyQxyfx的三个线性无关的解,则微分方程的通解是__________.难度等级:1;知识点:二阶非齐次线性微分方程的通解答案:1213233(()())(()())().yxyxyxyxyxCC类似的也可.分析:由二阶线性微分方程通解的结构定理,13()()yxyx与23()()yxyx是齐次微分方程()()0yPxyQxy的解,因此原方程的通解为1213233(()())(()())().yxyxyxyxyxCC三、计算题(每小题6分,共24分)13.判断级数11(0)1nnaa的敛散性.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试卷标准格式难度等级:2;知识点:敛散性的判别分析:对参数进行讨论.解:(1)11101,lim1,1,lim.112nnnnaaaa故级数111nna发散.(2)11111,,1nnnnaaaa收敛,故级数111nna收敛.14.求微分方程2xyyy满足初始条件1|1xy的解.难度等级:2;知识点:一阶线性微分方程.分析:方程为2n的贝努利方程的初值问题.解:这是2n的贝努利方程,在原式两边同除以2xy得2111.dyydxxyx令1,zy则21.dzdydxydx方程化为11.dzzdxxx这是一阶线性方程,且有11,1.xzy其解为2.xzx故原方程的解为().2xyxx15.确定正数a，使曲面xyza与球面22227xyz在交点000(,,)Mxyz处相切.难度等级：2；知识点：曲面的切平面.分析(,,)0Fxyz在点000(,,)xyz处的切平面的法向量为(,,)xyznFFF，两曲面在000(,,)Mxyz相切，说明法向量平行，且000(,,)Mxyz在两个曲面上.解曲面xyza在点M的法向量1000000(,,)nyzxzxy，球面22227xyz点M的法向量2000(,,)nxyz，二曲面在交点000(,,)Mxyz相切，则12//nn于是000000000xyzyzxzxy，而且000xyza，22200027xyz解之得到0003xyz，00027axyz16.计算()()(),yzdxzxdyxydz其中积分路径为椭圆222,xya1xzab(0,0).ab若从x轴的正向看去,这椭圆是取逆时针方向.难度等级:3,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的计算,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试卷标准格式解:取为平面1xzab被所围成的部分的上侧,的法线向量为11(,0,),nab其方向余弦为2222(cos,cos,cos)(,0,).baabab于是()()()yzdxzxdyxydz22coscoscos2()dSxyzyzzxxyabdSab2222222222()1()2()xyaxyaabbdxdyaababdxdya22()2().abaaaab或解:cossin:02cosxatyattzbbt()()()yzdxzxdyxydz20[(sincos)(sin)(coscos)cos(cossin)sin]atbbtatbbtatatatatbtdt220()2()aabdtaab四、解答题(每小题6分,共12分)17.设22,323ydxxdydzxxyy求原函数.z难度等级2;知识点:曲线积分与路径无关的条件分析:利用曲线积分与路径无关找原函数解:22010323xyydxzdycxxyy20283()39xydxcyyx03()33arctan32222xyxycyy13arctan.2222xycy18.求与原点的距离为6，且在三个坐标轴上的截距之比为2:3:1::cba的平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试卷标准格式分析平面的截距式方程为1xyzabc.解设所求的平面方程为123kzkykx.即.06326kzyx由题意有63266030206222k，即676k，7k.故所求的平面方程为042326zyx五、证明题(每小题6分,共12分)19.设函数()fx在[0,1]上连续,试证1113001()()()[()].6yxxfxfyfzdxdydzfxdx难度等级:3;知识点:重积分分析:利用连续函数一定有原函数,计算三次积分,求出结果即证证:令0()(),xFxftdt则()().dFxfxdx()()()().yyxxfzdzdFzFyFx110()()()yxxfxfyfzdxdydz110()()()yxxfxdxfydyfzdz110()()[()()]xfxdxfyFyFxdy121012201()[()()()]211()[(1)()(1)()]22xfxFyFxFydxfxFFxFFxdx23210111{(1)()()(1)()}262FFxFxFFx1301[()].6fxdx20.设有方程10,nxnx其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根,nx并证明当1时,级数1nnx收敛.难度等级:2;知识点:敛散性的判别证明:1.设1()1()0(0)()nnfxxnxfxnxnxfx单增(0).x故方程01nxxn至多一正实根.又(0)10,(1)0,ffn故方程01nxxn至少一正实根.所以方程01nxxn(其中n为正整数)存在惟一正实根.nx2.111110.nnnnnnnxnxxxnxnn故当1时,级数1nnx收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21.设薄片所占的闭区域D如下求均匀薄片的质心D由重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2014版试