量子力学讲义第二章讲义

1第二章一维势场中的粒子§2.2方势一、一维运动当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其Schrodinger方程为：22[(,,)](,,)(,,)2VxyzxyzExyzm若势可写成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，2212[()]()()2xdVxXxEXxmdx2222[()]()()2ydVyYyEYymdy2232[()]()()2zdVzZzEZzmdz(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)1(x)xyzEEEE二、一维无限深势阱0(0)()(0,)xaVxxxa这是定态问题一维无限深势阱（0~a）的求解解：（1）列出各势域的S—方程222[()]()()2dVxxExmdx202222220222()0202()0IIIIIIIIIIIIdmVEdxdmEdxdmVEdx00EV0()V，令22mEk)(0k，022()mVE方程可简化为：222222222000IIIIIIIIIIIIddxdkdxddx2(2).写出通解0222yadxydsincossin()()()iaxiaxyAaxBaxAaxyAeBe或束缚态自由态0222yadxydaxaxBeAey11330sin()0xxIIIxxIIIAeBexAkxxaAeBexa（3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）1)有限性：当x，I有限性01B当x，III有限性03A1xIAe3xIIBe当0V，0I，0III则解为00sin()00IIIIIIxAkxxaxa2)连续性：000xIIxI，0，sinIIAkx0IIIIIxaxa，sin0Akasin0kakannka22mEk22222nnEma，,,21n能量是量子化的，不连续00,sin0nxxanxAxaa（4）由归一化条件定系数A2220sin12aAnxAdxaa32Aa00,2sin0nxxanxxaaa标准形式是(0~a)2222,1,2,200,2sin0nnnEnmaxxanxxaaa能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。讨论00,2sin0nxxanxxaaa其能量本征能为：22222nnEma，,,21n1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；1n时能量最小，叫基态能量（01E）或零点能。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。2、与x有n-1个节点。除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点,第k激发态有k个节点.3、函数在全空间连续,但微商n在x=0和a点不连续。对无限深势阱，dxd是不连续的；对有限深势阱，dxd是连续的。如果区域的势为，则必为0，今后不必重新解；三、宇称(1)空间反射：空间矢量反向的操作。rr(,)(,)rtrt(2)此时如果有：(,)(,)rtrt(,)(,)rtrt称波函数具有正宇称（或偶宇称）；(,)(,)rtrt称波函数具有负宇称(或奇宇称)；(3)如果在空间反射下，4(,)(,)rtrt则波函数没有确定的宇称。四、有限深对称方势阱0/2()0/2VxaVxxaa为阱宽，V0为势阱高度。求束缚态(0EV0)的能级所满足的方程答案：/2ktgka或/2kctgka其中22mEk，022()mVE五、方势垒的反射与透射束缚态：当x时，0——其能量是不连续的；自由态：当x时，不趋于零——其能量是连续的。典型势垒是方势垒，其定义如下：00()00,VxaVxxxa现在的问题是具有一定能量E的粒子沿x轴正方向射向方势垒。i)考虑EV0的情况解：(1)、三个区域的Schrödinger方程可写为：21122220222233222002()0020dmExdxdmVExadxdmExadx因为EV0令22mEk，022()mVE221122222222332000dkdxddxdkdx解得5123(1)0(2)0(3)ikxikxxxikxikxeRexAeBexaSeCexaikxe入、ikxRe反、ikxSe透在III区域没有反射波，所以须令C=0。123ikxikxxxikxeReAeBeSe(2)利用波函数标准条件来定系数。①.波函数连续0:x12(0)(0)1RAB(4):xa23()()aaaaikaAeBeSe(5)②.波函数导数连续0:x12(0)(0)(1)ikRAB(6):xa23()()aaaaikaikAeBeSe(7)(4)、(6)两式相加减，分别得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2ikikARikikBR(8)(5)、(7)两式相加减，分别得[1]2[1]2ikaaikaaSikAeSikBe(9)(8)与(9)消去A、B，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)ikaaikaaikikikRSeikikikRSe(10)消去R，得211/()11/ikaaikaaSeikSeik6解出，得22/[1(/)]2ikaikSekkaiashch(11)(10)式消去S，得21/11/1/11/aikRikeikRik22[1(/)][1(/)]2kaRkkaiashshch(3).透射系数和反射系数①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数,用T表示；tijTj②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,用F表示；fijFj几率流密度矢量：**()2ijm**()2xiddjemdxdxikxe入，则入射波几率流密度ijxkemikxRe反，反射波几率流密度：2fxkjRem对透射波ikxSe透，所以透射波几率流密度：2txkjSem于是透射系数为:tijTj2S222222224()4kkakSh同理得反射系数：fijFj2R2222222222()()4kakakShSh7由以上二式显然有F+T=1，这是粒子数守恒的表现，ii)EV0时，不必重新去解因022()mEVk，当EV0时，是虚数，故可令：=ik'，其中022()mVE。这样把前面公式中的换成ik'并注意到：sinik'a=isinha222222224()sin4kkTkkkakk2211[1()sin]4kkkakk2222222222()sin()sin4kkkaFkkkakk由上可知：F0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F=0，kan，即222022nEVma时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。隧穿效应（tunneleffect）：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。3、讨论(1)、当a1时2221()24aaaeeshae透射系数则变为：2222222241()44akTkek2241()44akek当k（同一数量级）时，1a，24ae于是：2216()aTekk022()0amVETe0020()16EVETV粗略估计，认为k≈（相当于E≈V0/2）,则T0=4是一常数。(2)、任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。8对每一小方势垒透射系数22(())0mVxEdxTTe则a→b贯穿势垒V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即22(())0bamVxEdxTTe此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。§2.2线性谐振子一、引言1、何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在2212Vmx的势场中运动的粒子。2、为什么研究线性谐振子二、线性谐振子1、方程的建立线性谐振子的Hamilton量：222ˆ1ˆ22pHmxm22222122dmxmdx则Schrödinger方程可写为：22222()1()()22dxmxxExmdx(1)为简单计，引入无量纲参量代替x，令x，其中m，则方程可改写为0)()(222dd(2)此式是一变系数二阶常微分方程。其中2E2、求解0)()(222dd(1).求渐近解当→±∞时，2，于是方程变为：0)(222dd(3)9其解为：22~)(e但因为波函数的标准条件要求当→±∞时，应为有限，舍去22e，只取22e，令方程(2)的解为22()()ue，(2).u()满足的方程将()表达式代入方程(3)得关于待求函数u()所满足的方程：222(1)0dduuudd(4)——二阶线性变系数常微分方程此即Hermite方程。(3).解u()——级数解=0是方程(4)的常点，所以u()可以表示为泰勒级数0()kkkub则方程222(1)0dduuudd变成：20[(1)(2)2(1)]0kkkkkbkkbkb即：2(1)(2)2(1)0kkkbkkbkb从而导出系数bk的递推公式：221(1)(2)kkkbbkk由上式可以看出：024bbb135bbb因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0≠0,b1=0.→ueven();只含偶次幂项b1≠0,b0=0.→uodd().只含奇次幂项则通解可记为：01oddevenuCuCu201()exp()2oddevenCuCu3、应用标准条件u()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。(1)ξ=01000evenub，00oddu皆有限(2)→±∞需要考虑无穷级数u()的收敛性当→±∞时，u()的渐近行为与2e相同。所以总波函数有如下发散行为：2222222()()ueeee，，为了满足波函数有限性要求，幂级数u()必须从某一项截断变成一个多项式。bn≠0,bn+2=0.代入递推关系得：2210(1)(2)nnnbbnn因为bn≠0，所以有012n因为2E于是最后得1()2En,2,1,0n结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为ħ4、厄密多项式21