金融工程郑振龙第14章期权价格的敏感性和期权的套期保值.

在前面几章中，我们简要分析了决定和影响期权价格的主要因素，以及这些因素对期权价格的影响方向。在这章我们将把各种因素对期权价格的影响程度量化，即计算出期权价格对这些因素的敏感性。本章将介绍期权价格对其标的资产价格、到期时间、波动率和无风险利率四个参数的敏感性指标，并以此为基础讨论相关的动态套期保值问题。1Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008期权的Delta（）用于衡量期权价格对标的资产价格变动的敏感度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。准确地说，它是表示在其它条件不变情况下，标的资产价格的微小变动所导致的期权价格的变动。用数学语言表示，期权的Delta值等于期权价格对标的资产价格的偏导数。从几何上看，它是期权价格与标的资产价格关系曲线的切线的斜率。2Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008令f表示期权的价格，S表示标的资产的价格，表示期权的Delta，则：据此我们可以算出无收益资产欧式看涨期权的值为：Sf)(1dN无收益资产欧式看跌期权的值为：1)()(11dNdN3Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008从概率分布的性质可知，，因此无收益资产看涨期权的值总在0与1之间；而无收益资产欧式看跌期权的值则总是在-1到0之间。反过来，无收益资产欧式看涨期权空头值就总在-1和0之间；而无收益资产欧式看跌期权空头的值则总在0与1之间。10()1Nd4Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008无收益资产看涨期权和看跌期权值与标的资产价格的关系5Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与到期期限之间的关系6Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta值与r之间的关系7Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时，该证券组合的值就等于组合中单个资产值的总和（注意这里的标的资产都应该是相同的）：其中，wi表示第i种证券的数量，表示第i种证券值。niiiw1i8Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008由于标的资产和相应的衍生证券可取多头或空头，因此其值可正可负。这样，若组合内标的资产和期权及其他衍生证券数量配合适当的话，整个组合的值就可能等于0。我们称值为0的证券组合处于中性状态。当证券组合处于中性状态时，组合的价值在短时间内不受标的资产价格波动的影响，从而实现相对于标的资产价格的套期保值。但值得强调的是，除了标的资产本身和远期合约的值恒等于1，其他衍生产品的值可能随时不断变化。因此证券组合处于中性状态只能维持一个很短的时间。所以，我们只能说，当证券组合处于中性状态时，该组合价值在一个“短时间”内不受标的资产价格波动的影响，从而实现了“瞬时”套期保值。(案例14.1)9Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008如果出售一份看涨期权，就需要买入一份看涨期权或是通过中性构造一个“合成的看涨期权多头”，收入和费用相抵消，套期保值到底有何意义呢？对于一个稳健经营的金融机构来说，不能让自己处于风险暴露中而不作为，而中性套期保值方法就提供了风险管理的一种手段。首先，专业的金融运营和风险运营机构，往往能够以比市场价格优惠的费率进行套期保值。其次，一家高效运营的现代金融机构，往往先在总资产组合层面上计算对某一标的资产的净值，先在公司内部实现初步的风险对冲，再到外部市场上进行净值的套期保值，从而可以降低套期保值的成本。最后，金融机构可以结合自身的资产状况、市场预期和风险目标来管理指标，不同目标值的设定就可以实现不同风险管理策略。10Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008期权的Theta（）用于衡量期权价格对时间变化的敏感度，是在其它条件不变情况下期权价格变化与时间变化的比率，即期权价格对时间t的偏导数。11Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008tf根据B-S-M期权定价公式，对于无收益资产的欧式和美式看涨期权而言：210.5()2()22()drTtSerXeNdTt对于无收益资产的欧式看跌期权而言：210.5()2[1()]22()drTtSerXeNdTt12Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008当越来越临近到期日时，期权的价值逐渐衰减，因此期权的常常是负的。它代表的是期权的价值随着时间推移而变化的程度。期权的值同时受S、T-t、r和的影响。无收益资产看涨期权Theta值与S的关系无收益资产看涨期权Theta值与有效期之间的关系13Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008由于时间的推移是确定的，没有风险可言。因此无需对时间进行套期保值。但值与及下文的Gamma值有较大关系。同时，在期权交易中，尤其是在差期交易中，由于值的大小反映了期权购买者随时间推移所损失的价值，因而无论对于避险者、套利者还是投资者而言，值都是一个重要的敏感性指标。14Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008期权的Gamma（）是一个与联系密切的敏感性指标，可以认为是的敏感性指标，它用于衡量该证券的值对标的资产价格变化的敏感度，它等于期权价格对标的资产价格的二阶偏导数，也等于期权的对标的资产价格的一阶偏导数。从几何上看，它反映了期权价格与标的资产价格关系曲线的凸度。15Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008SSf22根据B-S-M无收益资产欧式期权定价公式，我们可以算出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值为：)(2215.0tTSed16Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与S的关系无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与T-t的关系17Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008标的资产及远期和期货合约的值均为0。这意味着只有期权有值。因此，当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种期权和其他衍生产品时，该证券组合的值就等于组合内各种期权值与其数量乘积的总和：其中，wi表示第i种期权的数量，表示第i种期权的值。niiiw1i18Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008由于期权多头的值总是正的，而期权空头的值总是负的，因此若期权多头和空头数量配合适当的话，组合的值就等于零。我们称值为零的证券组合处于中性状态。19Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008我们曾讨论过无收益资产的看涨期权价格f必须满足B-S-M微分方程又因为因此有：该公式对无收益资产的单个期权和多个期权组合都适用。rfSfSSfrStf22222122,,SfSftfrfSrS222120Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008Delta、Theta和Gamma三者之间的符号关系21Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008期权的Vega（）用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，它等于期权价格对标的资产价格波动率的偏导数：f对无收益资产欧式看涨期权和欧式看跌期权而言：2215.0detTS22Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008期权的Vega值与S的关系23Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008当我们调整期权头寸使证券组合处于中性状态时，新期权头寸会同时改变证券组合的值，因此，若套期保值者要使证券组合同时达到中性和中性，至少要使用同一标的资产的两种期权。其中下标p、1和2分别代表资产组合、期权1和期权2的相关参数。1122112200pp24Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008期权的RHO用于衡量期权价格对利率变化的敏感度，它等于期权价格对利率的偏导数：rfrho对于无收益资产看涨期权而言)()(2)(dNetTXrhotTr对于无收益资产欧式看跌期权而言]1)([)(2)(dNetTXrhotTr期货价格的rho值为：FtTrho)(25Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008从前述的讨论可以看出，为了保持证券组合处于、、中性状态，必须不断调整组合。然而频繁的调整需要大量的交易费用。因此在实际运用中，套期保值者更倾向于使用、、、和rho等参数来评估其证券组合的风险，然后根据他们对S、r、未来运动情况的估计，考虑是否有必要对证券组合进行调整。如果风险是可接受的，或对自己有利，就不调整；若风险对自己不利且是不可接受的，则进行相应调整。26Copyright©ZhengZhenlong&ChenRong,2008