雨中行走数学建模

1雨中行走问题的分析吴珍数学与应用数学二班A班冯奎艳数学与应用数学二班A班杨彦云数学与应用数学二班A班摘要本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。关键词雨滴降落频率；优化模型；淋雨量2一、问题重述一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。按以下步骤进行讨论:(1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。(2)雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,问速度多大时,总淋雨量最少。(3)雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,问速度多大时,总淋雨量最少。(4)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。二、问题分析人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P(模型建立部分会做具体阐述)的概念。对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。人以最大速度匀速运动时，通过位移公式Svt，可计算出运动时间。对于问题二，当雨迎面而来时，由于雨速与人行走方向成角且在同一铅直平面，通过速度分解，分别考虑人头顶方向雨的方向、人正面雨速方向，再根据淋雨面积和淋雨时间即可确定淋雨量，建立总淋雨量模型，分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解v，使淋雨量最小。对于问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,与题二类似，淋雨量从人背面和头顶两个面讨论，两个面的雨速经过速度分解，雨降在两个面的速度是不同的，最终得出两个面的淋雨量，建立总淋雨量模型，通过分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解v使淋雨量最小。对于问题四，固定人的行走方向，从一个点出发建立直角坐标系，雨斜向下与竖直方向成（02）雨向以绕竖直方向旋转一周包含了雨所有的方向，涵盖了雨的方向与行走方向处于铅直平面和异面的情况，建立模型，分情况讨论即可得出雨向与行走方向异面时的淋雨量。三、模型假设1．假设人是一个长为l,宽为d,高为h的长方体，人的各个面都有被淋到雨的可能；2.假设人在奔跑过程中以v匀速运动；33.假设下雨过程中，风速方向及大小稳定；四、符号表示五、模型建立与求解冒雨行走是生活中常见的问题，为了被淋湿的最少，建立相应的数学模型来解决在雨中如何行走，使淋雨量最少。5.1不考虑雨的方向时的淋雨量分析在不考虑雨的方向的条件下，设降雨淋遍全身，则淋雨量包括顶部淋雨量，两个侧面淋雨量，迎面和侧面淋雨量。淋雨时间Dtv淋雨面积（顶部和四个侧面面积）22sdlhlhd淋雨量122DQcdlhlhdv5.2雨迎面吹来的淋雨量分析符号表示含义r雨滴的速度v人在雨中的行走速度c单位时间内的降雨量即降雨强度1Q不考虑雨的方向的淋雨量淋雨量2Q雨迎面吹来的淋雨量3Q雨从背面吹来的淋雨量Q雨向与行走方向异面时的淋雨量D人在雨中直线行走的距离l人的长度d人的宽度h人的高度雨迎面吹来与人体的夹角雨背面吹来与人体的夹角p雨滴降落的频率雨线方向在xoy面的投影与y轴夹角雨线方向与z轴的夹角4雨向vθ图1雨迎面吹来时，雨的速度方向和人体的夹角为，当是大暴雨时，雨像屋檐流水是不间断的，用雨速就可以确定降雨量，但通常雨都是不连续下落的，为了描述雨的大小引入降雨频率p的概念。定义p为雨下落的频率用来描述雨的大小，将单位时间划分为n个t（n尽可能的大）cossinDcDcvr其中有m个t的时间在下雨。mpn（0p1）记V为雨的体积则mmVcpnnVv当p=1时，雨是大暴雨连续的下。当p=0时，晴天没有下雨。前部降雨量sinDrvphlv顶部降雨量cosDrpdlv总降雨量2sincoscossinDDQrvphlrpdlvvDDchlrcdlchlvrv5.3雨背面吹的淋雨量分析5αv雨向图2顶部降雨量cosDrpdlv背部淋雨量sinDdhrvpv总淋雨量3cossinDDQrpdldhrvpvv当sinrv时3cossinDDQdlrpdhrvpvv=cossin1DcdlDdhcrvrv当sinrv时3Q=cossin1DcdlDdhcrvrv5.4雨线方向与行走方向异面nβγB(0)D'C'B'A'DCAxzy图3（n为雨向）把人当做长方体以侧棱AB为Z轴建立图3所示的直角坐标系，确定人的行6走方向（如图3），引入角，是雨线在xoy平面即水平面上的投影与y轴的夹角，是雨线与z轴的夹角（0,022），可以确定：雨线与人头顶的夹角为，与人的后面AA’B’B的夹角为，与人的侧面ABCD夹角为。其中：=0时，雨线垂直下落；=0时，雨线从背面吹来；=时，雨线迎面吹来。这三种情况的雨线方向与行走方向都在同一铅直平面内，此处不予详细讨论。即02，02时，雨线方向与行走方向异面。顶部淋雨量：cosDrdlv背面：30,222（迎面：32）淋雨量：sin()2Dhdrvv侧面淋雨量：sinDhlrv总淋雨量：cossin()sin2DDDQdlrhdrvhlrvvv六、结果分析与检验6.1不考虑雨的方向，雨淋遍全身时的淋雨量为122DQcdlhlhdv，1Q是关于v的一元函数，随v增大而减小。即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活实际。6.2雨迎面吹来情况淋雨量为2cossinDDchlrcdlQchlvrv，2Q是关于v的一元函数，随v的增大而减小。即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活实际。6.3雨背面吹来情况7总淋雨量3cossinDDQrpdldhrvpvv当sinrv即arcsinvr时3Q=cossin1DcdlDdhcrvrv.3Q是关于v的一元函数，随v的增大而减小。即人的行走速度越大，淋雨量越小。当sinrv时即arcsinvr时3Q=cossinDDdlrpdhvrpvv=cossin1DcdlDdhcrvrv。因为在现实问题中sin0vr，所以当sinvr时3Q取得最小值。即当雨从背面吹来，行走方向和雨的方向的夹角arcsinvr的条件下，行走速度sinvr时，淋雨量最少。6.4异面情况分析七、模型推广与评价优点：(1)引入降雨频率来描述雨的大小，具有合理性和正确性.(2)模型简单易懂；缺点：(1)将人的形状考虑为长方体，理想化.(2)仅考虑了道路为直线的形式推广可以将人考虑为圆柱体，将道路转弯处的因素考虑进去，建立出相应的模型参考文献[1]熊启才，数学模型方法及应用，重庆大学出版社[2]方道元，韦明俊，数学建模，浙江大学出版社