镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题

2015镇江一模卷第1页，共12页江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题2015年2月1．记复数z＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)的共轭复数为-z＝a－bi．若z＝2＋i，则-z2的代数形式为____．2．设全集U＝Z，集合M＝{1，2}，P＝{－2，－1，0，1，2}，则∁UM＝_________．3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_________．4．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离是焦距的14，则该双曲线的渐近线的方程是________．5．在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(2x－1，－1)，b＝(2，x＋1)．若a⊥b，则x的值为_______．6．执行如图流程图，若输入a＝20，b＝12，则输出值a为_________．7．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，给出下列四个命题：①若m∥n，nα，则m∥α；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，mα，nβ，则m∥n；④若若α⊥β，α∩β＝m，nα，n⊥m，则n⊥β．其中正确命题的序号为_________．8．设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，在平面直角坐标系xOy中，若向量a＝(m，n)，向量b＝(1，－1)，则“向量a，b的夹角为锐角”的概率是_________．9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9的值为_________．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点．若ΔABC的面积为1，则直线l的方程为_________．11．若一个钝角三角形的三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m，则实数m的取值范围是_________．12．设函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝xlnx，则不等式f(x)＜－e(其中e是自然对数的底数)的解集为_____________．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝－1x(x＜0)与曲线y＝lnx的公切线(公共的切线)的条数为_____．14．若正数x，y满足1x＋1y＝1，则4xx－1＋9yy－1的最小值为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)设△ABC的面积为S，若AB→·AC→＝2S，(1)求sinA的值；(2)若|AB→|＝3，|AB→－AC→|＝23，求sinB的值．开始NY结束输出aa←a×b输入a，ba＞b(第6题)2015镇江一模卷第2页，共12页16．(本小题满分14分)如图，在四面体ABCD中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为棱BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．(1)求四面体ABCD的体积；(2)求证：AC⊥平面DEF；(3)若M为棱DB的中点，N在棱AC上，且CN＝38CA，求证：MN∥平面DEF．17．(本小题满分15分)某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近．现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心，1百海里为半径的圆上，船A，B，C，D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外(如图所示)．设小岛O到直线AB的距离为x(百海里)，∠AOB＝α，船D到小岛O的距离为d(百海里)．(1)请分别求d关于x，α的函数关系式d＝g(x)，d＝f(α)；(2)当A，B两艘船之间的距离多大时，搜救范围最大(即d最大)．18．(本小题满分15分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1，0)，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝4x－2x，实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，设a＝2s＋2t，b＝2s＋t．(1)求函数f(x)在区间[－1，1]上的取值范围；(2)求函数关系式b＝g(a)，并求函数g(a)的定义域；(3)求8s＋8t的取值范围．20．(本小题满分16分)数列{an}中，已知a1＝1，在a1，a2之间插入1个数，在a2，a3之间插入2个数，在a3，a4之间插入3个数，…，在an，an＋1之间插入n个数，使得所有插入的数和数列{an}中的所有项按原有顺序构成一个正项等差数列{bn}．(1)若a4＝19，求{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋λ＝bn＋μ(λ，μ为常数)，求{an}的通项公式．OABCDdxαE(第17题)ABCDF(第18题)yOxNMADBCFENM(第16题)2015镇江一模卷第3页，共12页江苏省镇江市高三数学期末试题第Ⅱ卷(理科附加卷)21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．(选修4－1：几何证明选讲)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，线段CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB延长线于点F．若CD＝2，CB＝22，求EF的长．B．(选修4－2：矩阵与变换)已知矩阵M＝1002，N＝12001，试求在平面直角坐标系xOy中的曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换下所得曲线的方程．C．(选修4－4：坐标系与参数方程)已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝6．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，长度单位不变，建立直角坐标系xOy，圆C的参数方程为x＝10cosθ，y＝10sinθ(θ为参数，θ∈R)．(1)请分别把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，把圆C的参数方程化为普通方程；(2)求直线l被圆C截得的弦长．D．(选修4－5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对任意实数a，b都成立，求实数x的取值范围．【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知A为曲线C：4x2－y＋1＝0上的动点，定点M(－2，0)，若动点T满足→AT＝2→TM，求动点T的轨迹方程．23．(本小题满分10分)已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M是侧棱PB的中点．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求直线AC与PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值．OABCDFE(第21－A题)PMACPBD(第23题)2015镇江一模卷第4页，共12页江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案第Ⅰ卷一、填空题(每小题5分)题号答案试题出处知识点能力难度13－4i模考题改编复数的运算，共轭复数运算易2{－2，－1，0}教材题改编集合的交集与补集运算易375教材题改编分层抽样运算易4y＝±33x教材题改编双曲线的几何性质运算易51教材题改编向量的数量积运算易6516教材题改编算法流程图识图易7④教材题改编立体几何中的判定和性质定理空间想象中8512原创题概率问题，向量的夹角运算中9448教材题改编等比数列的性质，求和运算中10x－1＝0，3x－4y＋5＝0教材题改编直线和圆的位置、点到直线的距离运算中11(2，＋∞)模考题改编正弦定理，函数的图象与性质直觉、图形分析较难12(－∞，－e)原创题函数的奇偶性、导数、单调性图象分析难131模考题改编函数的导数，构造函数及函数图像转化，运算难1425模考题改编基本不等式求最值转化难提示：11．设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，不妨设A≤B≤C，所以A＋C＝2B．又A＋B＋C＝π，所以B＝π3，所以A＋C＝2π3．由题知C为钝角，所以π2＜C＜2π3，所以0＜A＜π6．由题知m＝sinCsinA＝sin(2π3－A)sinA＝32cosA＋12sinAsinA＝32·1tanA＋12，又0＜tanA＜13，所以m≥2．12．当x＞0时，f(x)＝xlnx，所以f'(x)＝lnx＋1．当0＜x＜1e时，f'(x)＜0；当x＝1e时，f'(x)＝0；当x＞1e时，f'(x)＞0，所以，f(x)在区间(0，1e]上单调减，取值范围为区间[－1e，0)；在区间[1e，＋∞)上单调增，取值范围为区间[－1e，＋∞)．因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；在区间(－∞，－1e]上单调增，取值范围为区间(－∞，－1e]；在区间[－1e，0)上单调减，取值范围为[－1e，0)，因此，不等式f(x)＜－e＝－f(e)＝f(－e)的解为x＜－e．13．设曲线y＝－1x(x＜0)与曲线y＝lnx的公切线与这两条曲线分别切于点A(a，－1a)，B(b，lnb)，其中a＜0．由y＝－1x(x＜0)，得y'＝1x2(x＜0)；由y＝lnx，得y'＝1x(x＞0)，所以曲线y＝－1x(x＜0)在点A处的切线的方程为y＋1a＝1a2(x－a)，即y＝1a2x－2a；曲线y＝lnx在点B处的切线的方程为y－lnb＝1b(x－2015镇江一模卷第5页，共12页b)，即y＝1bx＋lnb－1．由题知1a2＝1b，－2a＝lnb－1，消去b，得2ln(－a)＋2a－1＝0．设f(a)＝2ln(－a)＋2a－1(a＜0)．因为f(a)是单调减函数，且f(－1)＝－3＜0，f(－e)＝2－2e－1＝e－2e＞0，所以f(a)＝0有唯一解，所以，两条曲线的公切线的条数为1．14．方法一因为1x＋1y＝1，所以xy＝x＋y，所以4xx－1＋9yy－1＝4xy－4x＋9xy－9yxy－(x＋y)＋1＝13xy－4x－9y＝13(x＋y)－4x－9y＝9x＋4y＝(9x＋4y)(1x＋1y)＝13＋4yx＋9xy．又因为x，y＞0，所以4yx，9xy＞0，所以4xx－1＋9yy－1≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4yx＝9xy＞0，即x＝53，y＝52时，4xx－1＋9yy－1取得最小值25．方法二由1x＋1y＝1，得y＝xx－1(x＞1)，所以4xx－1＋9yy－1＝4xx－1＋9x＝13＋4x－1＋9(x－1)≥13＋24x－1·9(x－1)＝25，当且仅当4x－1＝9(x－1)＞0，即x＝53．方法三因为x，y＞0，1x＋1y＝1，所以，设1x＝cos2θ，1y＝sin2θ，θ∈(0，π2)，所以4xx－1＋9yy－1＝41－1x＋91－1y＝41－cos2θ＋91－sin2θ＝4sin2θ＋9cos2θ＝(4sin2θ＋9cos2θ)(sin2θ＋cos2θ)＝13＋9sin2θcos2θ＋4cos2θsin2θ≥13＋29sin2θcos2θ·4cos2θsin2θ＝25，当且仅当9sin2θcos2θ＝4cos2θsin2θ，即cos2θ＝32sin2θ，即sin2θ＝25，cos2θ＝35，即x＝53，y＝52时，4xx－1＋9yy－1取得最小值25．二、解答题15．解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)因为△ABC的面积为S，且→AB·→AC＝2S，所以bccosA＝2×12bcsinA，……2分所以cosA＝22sinA．……3分又sin2A＋cos2A＝1，所以32sin2A＝1．……5分因为A∈(0，π)，所以sinA＞0，所以sinA＝63．……6分(2)方法一因为|→AB|＝c＝3，|→AB－→AC|＝|→CB|＝a