沈阳建筑工程学院职业技术学院基础部

沈阳建筑工程学院职业技术学院基础部教学计划第八章多元函数微分法极其应用（约15学时）第九章重积分（约17学时）第十章曲线积分与曲面积分（约18学时）第十一章无穷级数（约20学时）第十二章微分方程（约18）*“五.一”冲掉2学时每星期交一次作业，星期二、三下午3~5点答疑，地点：基础课部202室一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结一、多元函数的概念（1）邻域回忆。且是两个实数与设0,a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径}{),(axxaU的称为点数集aaxx}{,邻域),(aU记作}{),(axaxaU),(aaxaaa设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx一、多元函数的概念:)(00PUP的去心邻域点°.)()(0|),()(20200yyxxyxPU°（2）区域的为则称，的某一邻域个点．如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集，设EPEPUPPE)(.EE的内点属于EP为的点都是内点，则称如果点集EE}41),{(221yxyxE例如，即为开集．内点.内点：开集：开集.的为），则称，也可以不属于属于本身可以点的点点，也有不属于的于的任一个邻域内既有属如果点EPEEPEEP(EP的边界．的边界点的全体称为EE是，则称开集于都属起来，且该折线上的点连结任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDD边界点：边界点.连通：连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo闭区域：对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E与某一点A间的距离|AP|不超过K，即KAP对于一切点P∈E成立，则称E为有界点集。否则称为无界点集.}0|),{(yxyx有界闭区域；无界开区域．例如，}41|),{(22yxyxxyo（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx例如，(0,0)既是边界点也是聚点．补充（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx例如，(0,0)既是边界点也是聚点．（4）n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应R平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)2R数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)3R推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为.nRn维空间中两点间距离公式),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQ设两点为特殊地，当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n维空间中邻域概念：.,||),(00nRPPPPPU区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．（5）二元函数的定义回忆y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是设x和y是两个变量。D是一个给定的数集，若对于每个数Dx，变量).(xfyx的函数，记作定义1设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.}),(),,({DyxyxfzzW点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.当2n时，n元函数统称为多元函数.对应地，函数)(xfy称为一元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．定义1设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.}),(),,({DyxyxfzzW点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.).,(),,(yxzyxzzyxz的函数也可记为、是函数的两个要素:定义域、对应法则.与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD（6）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz.以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当),(yx取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,左图球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:xyzo二、多元函数的极限定义2设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.定义2΄设n元函数)(Pf的定义域为点集,D0P是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式||00PP的一切点DP，都有|)(|APf成立，则称A为)(Pf当0PP时的极限，记为APfPP)(lim0.n元函数的极限利用点函数的形式有说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义：0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数),(yxfz的图形总在平面Az及Az之间。例2求证证.01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx.01sin)(2222yxyx原结论成立．注意：是指P以任何方式趋于P0.0PP,)(lim00Axfxx,)(lim00Axfxx.)(lim0Axfxx一元中多元中,)(lim0AxfPP.)()(0PPAxf以某种方式趋于Axfyyxx)(lim00Ayxfyyxx),(lim00)(0Px轴沿平行Ayxfyyxx),(lim00)(0Py轴沿平行))((000Pxxkyy沿Ayxfxx),(lim0000)(yxxky(1)令),(yxP沿)(00xxkyy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法：例3设解.0,0,0,0,0,),(22yxyxyxxyyxf但取,kxy),(lim00yxfkxyx2200)(limkxxkxxkxyx其值随k的不同而变化。不存在．).,(lim00yxfyx求),(lim00yxfyx,00lim0y),(lim00yxfyx,00lim0x.12kk故),(lim00yxfyx例4求解).32(lim2210xyyxyx)32(lim2210xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx)3(lim)2(lim)(lim10210210xyyxyxyxyx.2103120例5求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,12220yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyx于是，yxu2三、多元函数的连续性设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称n元函数)(Pf在点0P处连续.定义3(1)函数),(yxf在),(000yxP点有定义；(2)),(lim00yxfyyxx存在；(3)),(),(lim0000yxfyxfyyxx。则称函数),(yxf在点),(000yxP连续.定义3′设0P是函数)(Pf的定义域的聚点，如果)(Pf在点0P处不连续，则称0P是函数)(Pf的间断点.注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。例如，.0,0,0,0,0,),(22yxyxyxxyyxf.)0,0(是间断点.),(2xyxyyxf时，当2xy.),(无定义yxf因此，的间断点。上的所有点均是),(2yxfxy多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：)()()(lim000定义区域PPfPfPP例6求极限.lim21xyyxyxxyyxyxf),(解是多元初等函数。定义域：}.0,0|),{(yxyxD}0,0|),{()2,1(1yxyxD点.D于是，xyyxyx21lim2121.23（不连通）xoy例７.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx111lim00xyyx.21xyxyyx11lim00闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理四、小结多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义作业：P122，4（1），（3），（5）5，6，7