非常好高考立体几何专题复习

1考点三平行与垂直的证明1、如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。方法一：（1）证明：取OB中点E，连接ME，NEMECDMECD，‖AB,AB‖‖,NEOCMNEOCD平面平面‖‖MNOCD平面‖（2）CD‖AB,MDC∴为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MP平面ABCD，∵OA∴CDMP2,42ADP∵∴DP=222MDMAAD，1cos,23DPMDPMDCMDPMD∴所以AB与MD所成角的大小为3（3）AB平面∵∴‖OCD,点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作AQOP于点Q，,,,APCDOACDCDOAPAQCD平面∵∴∴又,AQOPAQOCD平面∵∴,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离222221324122OPODDPOAADDP∵，22APDP22223322OAAPAQOP∴，所以点B到平面OCD的距离为23NMABDCO2xyzNMABDCOP方法二(向量法)作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244ABPDOMN,(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPOD设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0nOPnOD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n22(1,,1)(0,4,2)044MNn∵MNOCD平面‖(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,,1)22ABMD∵1cos,23ABMDABMD∴∴,AB与MD所成角的大小为3(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得23OBndn.所以点B到平面OCD的距离为2332．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为菱形，且160AAB，ACBC，D是AB的中点．（1）求证：平面1ADC平面ABC；（2）求证：1BC∥平面1ADC．2．（1）证明：∵11ABBA为菱形，且160AAB，∴△1AAB为正三角形．…………………2分D是AB的中点，∴1ABAD．∵ACBC，D是AB的中点，∴ABCD．…………………4分1ADCDD，∴AB平面1ADC．…………………6分∵AB平面ABC，∴平面1ADC平面ABC．…………………8分（2）证明：连结1CA，设11ACACE，连结DE．∵三棱柱的侧面11AACC是平行四边形，∴E为1AC中点．…………………10分在△1ABC中，又∵D是AB的中点，∴DE∥1BC．…………………12分111DCBACBA（第2题）4∵DE平面1ADC，1BC平面1ADC，∴1BC∥平面1ADC．…………………14分3.如图，在正三棱锥111ABCABC中，E，F分别为1BB，AC的中点.（1）求证：//BF平面1AEC；（2）求证：平面1AEC平面11ACCA.2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．(1)求证：A1C⊥面AEF；(2)求二面角A-EF-B的大小；(3)点B1到面AEF的距离.3.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面5ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，,ABACPA平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点.（1）求证：ACPB；（2）求证：PB//平面AEC；（3）若PAABACa，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.