量子力学导论第8章答案

1第八章自旋8.1)在z表象中，求x的本征态。解：在z表象中，x的矩阵表示为：x0110设x的本征矢（在z表象中）为ba，则有baba0110可得ab及ba1,12。,1则;ba,1则ba利用归一化条件，可求出x的两个本征态为,1;1121,11121。8.2)在z表象中，求n的本征态，cos,sinsin,cossinn是,方向的单位矢.解：在z表象中，的矩阵表示为x0110，y00ii，z1001（1）因此，zzyyxxnnnnncossinsincosiizyxyxzeeninninnn（2）设n的本征函数表示为ba，本征值为，则本征方程为0n，即0cossinsincosbaeeii（3）由（3）式的系数行列式0，可解得1。对于1，代回（3）式，可得xyxyxxiininninnneeba112sin2coscos1sin归一化本征函数用,表示，通常取为ie2sin2cos,1或222sin2cosiiee（4）2后者形式上更加对称，它和前者相差因子2ie，并无实质差别。若用n的直角坐标分量来表示，可以取为yxzzinnnnn11211或zyxzninnn1121（4’）如1zn，二者等价（仅有相因子的差别）。若1,0,0n，应取前者；若1,0,0n，应取后者。对于,1类似地可以求得xyxyxxiininninnneeba112cos2sinsincos1ie2cos2sin,1或222cos2siniiee（5）或zyxzninnnn11211或yxzzinnnn1121（5’）若1,0,0n，取101;若1,0,0n，取011。8.3)在zs本征态0121zs下，求2xs和2ys。解：2xs222xxxxssss但422xs（常数矩阵），0010110012xs，2xs42，类似有2ys42。8.4)（a）在zs本征态21下，求n的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处于1n的自旋态下，求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。解：（a）利用8.2）题求得n的本征函数，容易求出：在自旋态0121中，1n的几率为zn1212cos22211（1）1n的几率为3zn1212sin22211（2）（b）在自旋态11n态，1z的几率为zn1212cos22121（3）1z的几率为：zn1212sin22121（4）zzzznnn11211121[或zzncos2sin2cos12sin12cos2222（5’）]考虑到zzyyxxnnnn，各分量以及n各分量在n的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作zyx,,轮换，就可推论出以下各点：1x的几率为xn121，（6）xxn（7）1y的几率为yn121（8）yyn（9）将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：自旋态11n中，n（10）类似地，容易算出：自旋态11n中，n（11）解二：（a）在1z自旋态21中，n的可能测值为本征值;1设相应的几率为w及w，则（12）由于zzyyxxnnnn（13）考虑到在z的本征态中x和y的平均值为0，z的平均值即为其本征值，因此在21态下，cos1zzzznnnn（14）由式（12）、（14），并利用1ww，就可求出znw121，znw121（15）此即解一中的式（1）、（2）。4（b）在式（14）中，是z轴和n的夹角。z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴，而原来的n取作新的z轴。由此可知：在1n的自旋态中，z的平均值仍为cos，即zn。再令zyx,,轮换，即得自旋态11n中，n（10）在1态下各分量的取值大部分当然均为1，其几率也可估照（a）中计算而写出，即1x的几率为xn121（6）1y的几率为yn121（8）1z的几率为zn121（3，4）8.5)证明yxixizzee2sin2cos（为常数）[量Ⅱ]8.7）由两个非全同粒子（自旋均为2）组成的体系，设粒子间相互作用表为21ssAH（不考虑轨迹运动）。设初始时刻（0t）粒子1自旋“向上”211zs，粒子2自旋“向下”212zs。求时刻0t时，(a)粒子1自旋向上的几率（答：2cos2At，取1）(b)粒子1和2的自旋向上的几率（答：0）(c)总自旋s=0和1的几率（答：都是21）(d)求和的平均值（答：02211yxyxssss，Atszcos211，Atszcos212）。解：从求体系的自旋波函数入手，由于232221sAssAH（1）易见总自旋s是守恒量，所以定态波函数可以选为2s、zs的共同本征函数，按照总自旋量子数s的不同取值，本征函数和能级为43,,0,4,,100011AEsAEssM（2）0t时，体系的自旋态为001021210（3）因此，0t时波函数为tiEtiEeet0100102121（4）即434212121212121iAtiAteet542sin212cos21iAteAtiAt（4’）(a）由式（4’）可知，在时刻t，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于21项］的几率为2cos2At。(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于21，式（4’）中没有这种项］的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋zs为守恒量，而体系初态0zs，所以任何时刻zs必为0，不可能出现两个粒子均“向上”1zs的情形。(c)由式（4）可知，总自旋量子数s取1和0的几率相等，各为21。由于2s守恒，这个几率不随时间改变(d)利用式（4’）容易算出1s和2s的平均值为cos21,cos212sin2cos21,0122212211。AtssAtAtAtssssstztztztytxtytx（5）6