韩旭里__概率论习题答案(7)

1习题七1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】1(),(),EXnpEXAX因此np=X所以p的矩估计量ˆXpn2.设总体X的密度函数f（x,θ）=22(),0,0,.xx其他X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】23022022()()d,233xxEXxxx令E(X)=A1=X,因此3=X所以θ的矩估计量为^3.X3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.（1）f（x，θ）=,0,0,0.exxx（2）f（x，θ）=1,01,0,.xx其他【解】（1）似然函数111(,)eeeniiinnxxnniiiLfx1lnlnniigLnx由1ddln0ddniigLnx知1ˆniinx所以θ的极大似然估计量为1ˆX.2(2)似然函数11,01nniiiLxx,i=1,2,…,n.1lnln(1)lnniiLnx由1dlnln0dniiLnx知11ˆlnlnnniiiinnxx所以θ的极大似然估计量为1ˆlnniinx4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】0.094x0.101893s9n0.094.EXx由222221()()[()],()niixEXDXEXEXAn知222ˆˆ[()]EXA,即有10222211ˆˆ[()][10()]10iiAEXXX于是9ˆ0.90.101890.096610s所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.【解】(1)()2EX,令()EXX，则ˆ2X且ˆ()2()2()EEXEX,所以θ的矩估计值为ˆ220.61.2x且ˆ2X是一个无偏估计.3(2)似然函数8811(,)iiLfx,i=1,2,…,8.显然L=L(θ)↓(θ0)，那么18max{}iix时，L=L(θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆ=0.9.因为E(ˆ)=E(18max{}iix)≠θ,所以ˆ=18max{}iix不是θ的无偏计.6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2，2ˆ=k1211()niiiXX,问k为何值时2ˆ为σ2的无偏估计.【解】令1,iiiYXXi=1,2,…,n-1,则21()()()0,()2,iiiiEYEXEXDY于是1222211ˆ[()](1)2(1),niiEEkYknEYnk那么当22ˆ()E,即222(1)nk时,有1.2(1)kn7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422XXXXXX试证123ˆˆˆ,,都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333EEXXEXEX21213ˆ()()()44EEXEX,31211ˆ()()(),22EEXEX所以123ˆˆˆ,,均是μ的无偏估计量.(2)22221122145ˆ()()(),3399DDXDXX4222212135ˆ()()(),448DDXDX223121ˆ()()(),22DDXDX8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求μ的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95,1.96,axuu,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.11.96)(14.754,15.146)xun.9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2xun,于是置信区间长度为/22un,那么由/22un≤L,得n≥22/224()uL10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：64694992559741848899846610098727487844881（1）求μ的置信概率为0.95的置信区间.（2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】76.6,18.14,10.950.05,20,xsn/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907tntn(1)μ的置信度为0.95的置信区间/218.14(1)76.62.093(68.11,85.089)20asxtnn(2)2的置信度为0.95的置信区间5222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907nsnsnn11.设总体X~f(x)=(1),01;10,.xx其中其他X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d(1)d,2EXxfxxxx又1(),2XEX故21ˆ1XX所以θ的矩估计量21ˆ.1XX(2)似然函数11(1)01(1,2,,)()()0nnniiiiixxinLLfx其他.取对数11lnln(1)ln(01;1),dlnln0,d1niiiniiLnxxinLnx所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.lnniinX12.设总体X~f(x)=36(),0;0,.xxx其他X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本（1）求θ的矩估计量；（2）求ˆ()D.6【解】(1)2306()()d()d,2xEXxfxxxx令,2EXX所以θ的矩估计量ˆ2.X(2)4ˆ()(2)4(),DDXDXDXn，又3222306()63()d,2010xxEXx于是222223()()(),10420DXEXEX,所以2ˆ().5Dn13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,θ)=2()2,;0,.xxxe其中θ(θ0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e0;1,2,,;()0lnln22(),;1,2,,,niixniniiixinLLLnxxin其他.由dln20ln(),dLnL知那么当01ˆˆmin{}ln()maxln()iinxLL时所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}iinx14.设总体X的概率分布为X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ7其中θ(0θ12)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】813ˆ(1)()34,()428iixEXEXxxx令得又所以θ的矩估计值31ˆ.44x（2）似然函数86241(,)4(1)(12).iiLPx2lnln46ln2ln(1)4ln(1),dln628628240,d112(1)(12)LL解2628240得1,27132.由于7131,122所以θ的极大似然估计值为713ˆ2.15.设总体X的分布函数为F（x,β）=1,,0,.xxx其中未知参数β1,α0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本（1）当α=1时，求β的矩估计量；（2）当α=1时，求β的极大似然估计量；（3）当β=2时，求α的极大似然估计量.【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0,1.xxfxFxxx8当β=2时,2132,;(,)(,,2)0,.xxfxFxxx(1)111()d11EXxxx令()EXX,于是ˆ,1XX所以的矩估计量ˆ.1XX(2)似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.lnln(1)ln,dlnln0,dnnniiiiiniiniixxinLLfxLnxLnx其他所以的极大似然估计量1ˆ.lnniinx(3)似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.nninniiiixinLfxx其他显然(),LL那么当1ˆmin{}iinx时,0ˆ()max()aLLL,所以的极大似然估计量1ˆmin{}iinx.16.从正态总体X~N（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？2/21()2edπztzt9z1.281.6451.962.33z0.90.950.9750.99【解】26~3.4,XNn,则3.4~(0,1),6/XZNn1.43.45.43.4{1.45.4}6/6/33210.95333ZPXPnnnnPZnnn于是0.9753n则1.963n,∴n≥35.17.设总体X的概率密度为f(x，θ)=,01,1,12,0,.xx其他其中θ是未知参数（0θ1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计.解(1)由于1201(;)dd(1)dEXxfxxxxxx-133(1)222.令32X，解得32X，所以参数的矩估计为32X.(2)似然函数为1()(;)(1)nNnNiiLfx