钱伯初量子力学考试题

量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a）束缚定态的主要性质。（b）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符（厄米算符）F，G不对易，令K＝i（FG-GF），试证明：（a）K的本征值是实数。（b）对于F的任何本征态，K的平均值为0。（c）在任何态中2F+2G≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为H＝zS+νxS（，ν0，»ν）（a）求能级的精确值。（b）视νxS项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱（0xa）中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值x，xp，xxp5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种：a(r)，b(r)，c(r)，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。（i）无自旋全同粒子。（ii）自旋/2的全同粒子（例如电子）。量子力学考试评分标准1、（a），（b）各10分（a）能量有确定值。力学量（不显含t）的可能测值及概率不随时间改变。（b）（nlmms）（n’l’m’ms’）选择定则：l＝1，m＝0,1，sm＝0根据：电矩m矩阵元-ern’l’m’ms’，nlmms02、（a）6分（b）7分（c）7分（a）K是厄米算符，所以其本征值必为实数。（b）F＝，F＝K＝K＝iFG-GF＝i｛G-G｝＝0（c）(F+iG)(F-iG)=F2+G2-K(F+iG)(F-iG)=︱(F-iG)︱2≥0F2+G2-K≥0，即2F+2G≥K3、(a)，(b)各10分(a)H＝zS+νxS＝2［1001］+2ν［0110］＝2［］H＝E，＝［ba］，令E＝2，则［］［ba］＝0，︱︱＝2-2-2＝0＝22，E1＝-222，E2＝222当»ν，22＝（1+22）1/2（1+222）＝+22E1-2［+22］，E2＝2［+22］（b）H＝zS+νxS＝H0+H’，H0＝zS，H’＝νxSH0本征值为21，取E1（0）＝-21，E2（0）＝21相当本征函数（Sz表象）为1(0)＝[10]，2(0)＝[01]则H’之矩阵元（Sz表象）为'11H=0，'22H=0，'12H＝'21H＝21E1＝E1（0）+'11H+)0(2)0(12'21EEH＝-21+0-2241＝-21-241E2＝E2（0）+'22H+)0(1)0(22'12EEH＝21+2414、E1＝2222ma，)(1x＝0sin2axaaxxax,00x＝dxxa021＝2sin202adxaxxaaxp＝-iadxdxd011-iaaxda020)sin21(2xxp＝-iaaaxdaxxaidxdxdx0011)(sinsin2＝aaxxdai02)(sin1＝0sin[12aaxxai-adxax02]sin＝0+aidxih02122四项各5分5、（i），（ii）各10分（i）s＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。),(21rr有：)(1ra)(2ra，)(1rb)(2rb，)(1rc)(2rc，)]()()()([212121rrrrabbaaccabccb共6种。（ii）s＝21，单粒子态共6种：01a，10a，01b，10b，01c，10c。任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如2211221101)(01)(01)(01)(21rrrrabba＝[21)()(21rrba-)]()(21rrab210101体系态共有1526C种或：a，b，c三种轨道态任取两个，可构成一种轨道对称态[21)()(21rrba+)]()(21rrab及一种反对称态[21)()(21rrba-)]()(21rrab，前者应与自旋单态x00相乘，而构成体系反对称态，共3种。后者应与自旋三重态x11，x10，x1-1相乘而构成体系反对称态，共33＝9种。但轨道对称态还有)(1ra)(2ra型，共3种型，各与自旋单态配合，共3种体系态，故体系态共3+3+9＝15种。