铅球运动中的数学1

陇东学院数学系2010届毕业生论文设计论文题目：铅球运动中的数学姓名：杨立红班级：2006级本科3班指导教师：崔建斌完成日期：2010年5月铅球运动中的数学杨立红**作者简介：杨立红，(1986—)，男，现为数学与应用数学专业2006级3班学生。陇东学院数学系甘肃庆阳745000摘要:本文运用力学原理，通过数理推导建立了铅球最大射程和最佳出手角的数学模型，并根据运动学的特点，分析了理论上最佳出手角及其在实际应用中的局限性。因此理论上最佳出手角只能作为教学和训练的定量指标，而并非竞赛中的最佳出手角。在教学和训练中应结合实际，采用合理的出手角，有利于改进技术，指导训练，从而提高运动员的成绩。关键词:铅球最佳出手角1.引言铅球比赛以远取胜，且推铅球是抛射点高于落地点的斜抛体运动。在中学物理中我们知道，如果不考虑空气阻力的影响，将一物体（形状规则，分布均匀）以一定的速率斜向上抛出，那么只有当仰角（即出手角）为45°时，它才能被抛出的最远。那么在实际当中，推出铅球的仰角（即出手角）为多少时，它才能推出的最远呢？目前在一些体育方面的书籍中给出了最佳出手角为38°～42°.[1]这样就很难正确的指导训练，对教学很不利。而在近几年的世界竞赛中，我国铅球运动员的成绩并不理想，究其原因，本文通过数理推导对此问题作初步的探讨，并将其进行总结。2.模型的建立2.1模型建立的基础铅球和其他球类有明显的不同，它的形状规则，密度较大，体积较小，那么这样就适合将其抽象为一个质点，而且铅球的飞行速度相对较慢，在抛出后做斜抛体运动，易于建立数学模型。2.2模型的推导铅球在推出后要受到空气阻力的影响，在这里我们设出手角（铅球离手时运动方向和水平方向的夹角）记为α，出手速度(铅球离开手时的速度)记为v0,运动员肩高为h1,臂长为L，出手时球高为h，空气阻力为F，则空气阻力与速度的关系为kvF,则在水平方向上和竖直方向上的阻力分别为：yyxxkvFkvF,，如图所示。GFFxFyAvy0vx0v0则由牛顿第二定律[2]得两边积分得上式中sin,cos000oyxvvvv两边再次积分得由于，，且时间t并不是一个较大的量，一般t10s，所以mkt为一小量，利用级数展开mkte后保留到二次项，并化简得：落地点的坐标为),(),(hsyx，从抛出点到落地点的时间记为t1，由上面两式有令amgkv0，代人（10）式，移项后为一个一元二次方程，由求根公式可得)sin1()sin1(2)sin(sin2001agaghvvt把sin1Lhh代人上式得)sin1(}]2sin)(2sin)21[({sin)sin1(]2sin)(2sin)2[(sin212012012200211122001agvghvLahgvgLavagghLahggLavvt令sinu,2021vgLab，201)(2vLahgc，2012vghd，则上式可化简为)1()(201augdcubuuvt同时)2(121120mkttuvs要得知α取何值时s为最大，只需令s的导数为零即可[3]。由0)](1[21120mkttuvdudduds得经计算得dcubuaugadcuacbdcubuvdudt22201)1(2)]2()2(2[代人（11）=(12)为了化简上式，我们令)1(24baa，)1(33baa，daaca2224，)2(1acdbaa，)22(20daacabacb43，abcadb2322，dacbb2321，adcb40于是（12）式就可以化简为012233201223344)(bubububdcubuauauauaua(13)两边平方化简得到一个一元十次方程00122334455667788991010AuAuAuAuAuAuAuAuAuAuA（14）其中系数：410baA，244392cabaaA，)2(2234243248aaabcaadaAdaaaaacaaaabA432342324172)2()(223234232412231406)2()(2)22(baaadaaaacaaaaabA323241223140213052)(2)22()(2bbaaaadaaaaacaaaabA)(2)22()(2)2(2231223140213021204bbbaaaaadaaaacaaabA)(2)(2)2(2213021302120103bbbbaaaadaaacabaA)2()2(22120212010202bbbaaadacabaA101020122bbadacaA，20200bdaA这里h1,L,m,v0,k为一级参数，a,b,c,d为二级参数，ai（i=0,1,2,3,4）和bj（j=0,1,2,3,）为三级参数，An（n=0,1,2…，10）为四级参数。这样可以由一级参数确定二级参数，由二级参数来确定三级参数，由三级参数和二级参数共同来确定四级参数。当四级参数确定后，就可以由方程（14）来确定最佳出手角了。3.模型的检验为了验证模型的正确性，我们通过一个特例进行检验。当k=0时，此时有,2,2c,1b,0a20120vghdvgL令,2201vghA202vgLB，则c=B,d=A，同时有0134aaa2,402aa，43b，,32Bb)1(21Ab，Bb0，代人系数An可得0678910AAAAA,)13(4,9,83245ABABABA,)4(,4),684(20122ABAABABAAA,代入式（14）且两边同乘以-1得0)4(4)684()13(49822223425ABABuuBAAuABuBBu(15)如果认为出售高度与出手角无关，则相当于L=0，h1=h，此时有,2220201vghvghA0220vgLB，代入（15）式化简得ghvvAu22212020，所以有ghvv22arcsin2020（16）这就是教科书上给出的公式。4．模型的分析上式就是大多数体育类教科书中给出的公式，在此公式中我们可以知道，α的大小与V0和h都有关系。如果对于某一个运动员而言，h是不变的，而影响α大小的因素就只有V0，所以理论上最佳出手角的决定因素为出手速度V0.之所以能得到（16）式的结果，是因为我们在检验模型前假设了K=O，即不考虑空气阻力，这样得到的出手角并非实际中真正的出手角，它将最佳出手角的模型简单化，因此该模型在实际中具有一定的局限性，就不能准确地指导训练，只能作为理论上出手角的计算公式，以供参考。5．结论铅球运动的最大射程与出手角、出手速度、出手高度都有关，要取得有优异的成绩，除了加强训练来取得较大的初速度（出手速度）外，还要适当加大出手角，而最佳出手角的大小与出手速度和出手高度有关，但影响最大的是出手速度。速度越快，出手角也相应的增大。因此，在教学和训练中，应当有意识地增大出手角，从而使运动员取得优异的成绩。参考文献[1]《田径》教材小组.田径[M].北京：人民体育出版社，1998,29.[2]马文蔚，解希顺，周雨青.物理学[M].北京：高等教育出版社，2006,3.[3]华东师范大学数学系.数学分析第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.