2.1-2.2群表示理论

2.1群的矩阵表示2.2舒尔引理2.3表示矩阵元的正交性定理2.4表示的构造2.5基函数的性质2.6表示的特征标2.7群元空间2.8正规表示2.9完全性关系2.10表示的直积2.11直积群的表示第二章群表示理论定义：群G的矩阵表示，就是一个与群G同态的方知阵群．也就是说，对于群G的每一个元A，对应着方矩阵群的一个方矩阵D(A)，并且D(A)D(B)=D(AB)(2.1-l)对于群G中的每一个A及B都成立．若知阵群与群G是同构关系，那么这个表示就称作确实表示；若二者是同态关系，群G的元多于矩阵群的元，那么，群G的几个元就对应于一个相同的矩阵，这种表示就称作不确实表示．后面还会看到矩阵群大于群G的同态关系．群G的表示记作DG；,矩阵的行（或列）数l称作表示的维数．由定义可知：(l)D(E)=I0,I0是l×l的单位矩阵；(2.1-2)(2)D(A-1)＝[D(A)]-1.(2.1-3)一个群的矩阵表示必然自动地就是其子群的一个矩阵表示，简称为“表示”.§2.1群的矩阵表示例在第一章中3×3的矩阵群d3群与正三角形的对称群D3群同构，因此，d3群的各元就是D3群的一个三维的确实表示．即100010100()010,()100,()001,001001010001001010()010,()100,()001.100010100DEDADBDCDDDF第一章还给出了六个2×2矩阵组成的群.该群与d3群同构，因而也与D3群同构，所以是D3群的一个二维表示.13101022(),(),(),01013122131313222222(),(),().313131222222DEDADBDCDDDF由于D3群与C3V群同构，而当用坐标变换来表示C3V群的操作时，就得到了D3群的一个三维表示，即：1302210010031()010,()010,()0,2200100100113130022223131()0,()0,(2222001001DEDADBDCDDDF1302231)0.22001D3群的一个一维表示是要提出的，那就是由仅有一个元的矩阵形成的表示，即D(E)=D(A)=D(B)＝…=(1)这个表示称作恒等表示（平庸、单位、显然表示）．任何一个群都有这么一个恒等表示．可见，任意一个群，都有无限多个表示，这些表示都可由若干个基本的表示形成，而每一个群的基本表示的个数却往往是有限的．等价表示与幺正表示（1）等价表示相似变换有一个l维的方矩阵M，若用一个非奇异的l×l矩阵S进行变换M'=S-1MS(2.1-4)那么M’就称作M的相似变换.等价表示两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示．记作DG~DG’．由于矩阵之间的关系不受相似变换的影响，所以把一切等价的表示都认为是相同的表示．要证明对于群G的一个表示DG进行相似变换后得到的DG’仍为群G的一个表示．即证明，当D(A)D(B)=D(C)时，D’(A)D’(B)=D’(C)亦成立．其中A，B是群G中的任意元，C=AB.证明：根据定义D’(A)D’(B)=(S-1D(A)S)(S-1D(B)S)=S-1D(A)D(B)S=S-1D(C)S=D’(C)例：将d3群的各元（D3群的表示），用幺正矩阵作相似变换，得到新的表示为11136211136212036S10010010013'()010,'()010,'()0,22001001310221001001313'()0,'()0,'(22223131002222DEDADBDCDDDF10013)0.2231022111133311266611022S100010100()010,()100,()001,001001010001001010()010,()100,()001.100010100DEDADBDCDDDFd3群：11136211136212036S(2)幺正表示幺正矩阵如果一个矩阵U的逆U-1等于矩阵U的复共轭转置矩阵Ũ*,U就称作幺正矩阵．由于Ũ*=U+,，所以当U-1=U+时，U就是幺正矩阵.任何一个实正交矩阵R是幺正的．因为R是正交的，所以，由于R是实的，所以(2.1-5)幺正表示若群G的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正的，那么这个表示就称为群G的一个幺正表示．对于幺正表示，D(A-1)=D(A)+成立．因为对于幺正表示，D(A)D(A)+=I0对任意G中的A成立，而已知D(A)D(A-1)=I0，于是，D(A-1)=D(A)+(2.1-6)1RR*1RRRR定理一有限群的任何非奇异的矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正的矩阵表示．证明：只需指出对群G的任何非奇异的矩阵表示，总存在相似变换矩阵S使之成为幺正表示即可.证明分三步进行．令g阶群的表示D(Al),D(A2)，…，D(Aμ)，…，D(Ag)记作Al,A2，…，Aμ，…，Ag.第一步：作一个矩阵H(2.1-7)因为(2.1-8)所以，H是厄米矩阵．由于任何厄米矩阵都可以通过一个幺正的相似变换变为对角矩阵，因此，存在一个幺正矩阵U，使为对角矩阵．而(2.1-9)HAA1HUHUHAAAAH1111HUHUUAAUUAUUAUAA第二步：的所有对角元都是实数而且是正的．因为(2.1-10)只有当对一切μ全部为零时，才能为零．如果这样，对于一切μ，表示矩阵Aμ都将有一整行（第k行）为零，这与非奇异表示的前提不合，所以的任一对角元都不可能为零，是实数且是正的．于是，可以定义两个实的对角矩阵D1和D2:(2.1-11)它们满足(2.l-12)其中I0为单位矩阵．1/21/212,kkkkkkkkDHDH2kkkjkjkjkjjkjjjHAAAAA111201122,,,DDHDDIDDDD()1,2,3,,kjjAjl()kkHHH第三步：证明UD1就是使表示矩阵Aλ变成幺正表示的变换矩阵．A1111111111ADADDUAUDUDAUD0AAI现在证明1111111111111111111111111111111111111111110AADADDADDADDADDAHADDAAAADDAAAADDAAAADDAADDHDDDDDI这就证明了新的表示矩阵确是幺正矩阵，定理得证.证明过程中用到了重排列定理.以后讨论群的表示时，只讨论幺正表示.定理二若群G的两个幺正表示DG和DG’是等价的，那么，必然存在一个幺正矩阵U，使D’(R)=U-1D(R)U证明：已知DG和DG’等价，必存在一个非奇异的矩阵S，使D’(R)=S-1D(R)S，显然D’(R-1)=S-1D(R-1)S，上式两边取厄米共轭后，得D’(R-1)+=S+D(R-1)+(S-1)+(2.1-14)因为：D’(R-1)+=D’(R-1)-1=D’(R)D(R-1)+=D(R),(S-1)+=(S+)-1所以，式(2.1-14)变为D’(R)=S+D(R)(S+)-1(2.1-15)由D’(R)=S-1D(R)S，得S-1D(R)S=S+D(R)(S+)-l(2.1-16)上式左乘S，右乘S+后，得D(R)SS+=SS+D(R)(2.1-17)矩阵SS+可以与D(R)对易，这表明以SS+作D(R)的相似变换，使D(R)不变．且(SS+)+=SS+(2.1-18)故SS+是厄米矩阵，所以，必存在一个幺正矩阵V使之对角化，即V-1SS+V=SSS(2.1-19)S是对角矩阵，且是厄米矩阵，因为S+=(V-1SS+V)+=V+SS+(V-1)+=V-1SS+V=S(2.1-20)上式利用了V的幺正性，即V+=V-1,(V-1)+=VS=由式（2.1-19）得SS+=SSVSV-1，将此式代入式（2.1-17),得VSV-1D(R)=SSD(R)VSV-1(2.1-21)以V-1左乘上式，再右乘以V，得SV-1D(R)V=V-1D(R)VS(2.1-22)上式表明S与V-1D(R)V对易．定义一个矩阵S1/2，其对角元为(S1/2)ii=(Sii)1/2，这样S1/2S1/2=S(2.1-23)且S1/2V-1D(R)V=V-1D(R)VS1/2(2.1-24)以S-1/2左乘及右乘上式，得V-1D(R)VS-1/2=S-1/2V-1D(R)V(2.1-25)以V左乘，V-1右乘上式,得D(R)VS-1/2V-1=VS-1/2V-1D(R)(2.1-26)即VS-1/2V-1与D(R)对易.令M=VS-1/2V-1(2.1-27)于是D(R)M=MD(R)(2.1-28)令U=MS，下面将证明，U是幺正矩阵.UU+=MS(MS)+=MSS+M+=VS-1/2V-1SS+VS-1/2V-1(2.1-29)再利用式(2.1-19)，上式就变成UU+=VS-1/2SS-1/2V-1=VV-1=I0所以，U是幺正矩阵．由式D’(R)=S-1D(R)S及式（2.l-28）得D’(R)=S-1M-1D(R)MS=(MS)-1D(R)(MS)=U-1D(R)U定理得证.可约表示与不可约表示取群G的两个表示矩阵D1(A)及D2(A)来构造一个新的矩阵D(A)(2.l-29)其中D1(A)是l1维的，D2(A)是l2维的，D(A)是(l1+l2）维的，而D(A)的上半部右边l1×l2的块及底部左边l2×l1的块中的所有元都是零．这种形式的矩阵，称为块状对角矩阵．D(A)也是群G的一个表示，因为12()0()0()DADADA1122()()0()()0()()DADBDADBDADB12()0()0()DABDABDAB式(2.l-29)为可约表示.定义：可约表示：若群G的表示DG，可以用同一个相似变换将所有群元的表示矩阵D(A)、D(B)、…同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵，那么这个表示就称为可约表示．不可约表示：如果一个表示不能做到上述这一点，那么这个表示就称为不可约表示．就是说这种表示不能用更低维数的表示来表述．(2.l-30)若DG1及DG2是不可约表示，则可约表示DG可表为DG=DG1⊕DG2(2.1-31)其中符号⊕表示直和．可见，不可约表示是“基本的”表示，在实际应用中，群G的不可