首届中国东南地区数学奥林匹克(有答案)

当前第页共6页1首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日8：00—12：00温州）一、设实数a、b、c满足2223232abc，求证：39271abc二、设D是ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DE=DF，求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na，使得对任意的正整数n都有2122nnnaaa。（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na，使得对任意的正整数n都有2122nnnaaa。四、给定大于2004的正整数n，将1、2、3、…、2n分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。第二天（2004年7月11日8：00—12：00温州）五、已知不等式62(23)cos()2sin2364sincosaa对于0,2恒成立，求a的取值范围。六、设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：CDEFDFAEBDAF七、n支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n的最大值。注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛。八、求满足0xyyzzuxyyzzu，且110xyzu、、、的所有四元有序整数组（,,,xyzu）的个数。当前第页共6页2首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）一、解：由柯西不等式，2222222(23)(123)(1)(2)(3)9abcabc所以，233abc，所以33(23)3392733331abcabc二、证明：对AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：1(1)APDEMBPDEMBA，对AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：1(2)ACFNDPCFNDPA，对AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：1(3)ABMDFCBMDFCA（1）（2）（3）式相乘得：1DEFNMDEMNDDF，又DE=DF，所以有DMDNDMDEDNDE，所以DM=DN。三、解：（1）假设存在正整数数列{}na满足条件。212212221231112,0,...,3,4,....,222nnnnnnnnnnnaaaaaaaanaaaa又2222111,2aaaa所以有221112nnnaaaa对n=2，3，4，…成立。222221222(2)(3)(2)(3)...1111111...222nnnnnnnnnaaaaaaaaaa所以122222112nnnnaaa。设212[2,2),kkakN，取3Nk，则有1221222221111121122NkkNNNkkaaaa，这与Na是正整数矛盾。所以不存在正整数数列{}na满足条件。FABDCPMN当前第页共6页3（2）(1)(2)2nnna就是满足条件的一个无理数数列。此时有212242nnnnnaaaaa。四、解：为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n－2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于(2004)nn。另一方面，将棋盘的第i(1,2,3,...,)in行，第1...2003iii、、、（大于n时取模n的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)nn个。此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当12003i时，第i列的第1、2、…、i、n+i－2003、n+i－2002、...、n行中有“*”。当2004i时，第i列的第i－2003、i－2002、...、i行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）************************所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)nn。五、解：设sincosx，则22cos(),sin21,1,242xxx从而原不等式可化为：26(23)2(1)36axxax即2622223340,2()3()0xaxxaxxaxaxxx，2(23)01,2(1)xxaxx原不等式等价于不等式（1）1,2,230xx当前第页共6页4（1）不等式恒成立等价于201,2xaxx恒成立。从而只要max2()(1,2)axxx。又容易知道2()fxxx在1,2上递减，max2()3(1,2)xxx。所以3a。六、证明：设AF的延长线交BDF于K，,AEFAKBAEFAKB，因此,EKBKAEAKAFABAFAB。于是要证（1），只需证明：(2)CDBKDFAKBDAB又注意到KBDKFDC。我们有1sin2DCKSCDBKC进一步有1sin21sin2ABDADKSBDABCSAKDFC因此要证（2），只需证明ABDDCKADKSSS（3）而（3）//(4)ABCAKCSSBKAC事实上由BKAFDBKAC知（4）成立，得证。七、解：（1）如右图所示：表格中有“*”，表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。容易验证，按照表中的安排，6支球队四周可以完成该项比赛。（2）下面证明7支球队不能在四周完成该项比赛。设(1,2,3,4,5,6,7)iSi表示i号球队的主场比赛周次的集合。假设4周内能完成该项比赛，则iS是{1，2，3，4}的非空真子集。一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以(1,2,3,4,5,6,7)iSi中，没有一个集是另一个的子集。另一方面，设{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}ABC球队第一周第二周第三周第四周1**2**3**4**5**6**D123EFBAC当前第页共6页5{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}DEF由抽屉原理，一定存在,,,,{1,2,3,4,5}ijijij，,ijSS属于同一集合A或B或C或D或E或F，必有ijSS或jiSS发生。所以，n的最大值是6。八、解：设(,,,)abbccdfabcdabbccd。记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}Axyzuxyzufxyzu，:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}Bxyzuxyzufxyzu，:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}Cxyzuxyzufxyzu，显然4()()()10cardAcardBcardC。我们证明()()cardAcardB。对每一个(,,,)xyzuA，考虑(,,,)xuzy。(,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)xyyzzuuxxyzuAfxyzuxyyzzuuxxuuzzyyxfxyzuxuzyBxuuzzyyx接着计算()cardC。(,,,)()()()0()()()()xzyuxzyuxyzuCzxuyxzyuxyzuyzux设1{(,,,)|,1,,,10}Cxyzuxzxyzu，2{(,,,)|,,1,,,10}Cxyzuxzyuxyzu，3{(,,,)|,,,1,,,10}Cxyzuxzyuxzyuxyzu。满足,(,,,)abcdabcd为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有1623,1824,11025,2634,2936,21045,3846,31056,41058。满足,,xyzuxz的四元组共90个，满足,,xzyuxz的四元组共90个，312()4299090252,()1000,()900cardCcardCcardC。当前第页共6页6所以，()2152,()3924cardCcardA。