镇江市2011年高三期末考试试卷

凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]镇江市高三数学试卷第页(共6页)镇江市2011年高三期末考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.若复数z＝2－i(i为虚数单位)，z－是z的共轭复数，则z·z－＝____________.2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,5}，集合B＝{3,4}，则(∁UA)∩B＝________.3.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝____________.4.Sn为等差数列{an}的前n项和，如果a1006＝2，那么S2011＝____________.5.已知命题p：|x－a|＜4，命题q：x2－5x＋6＜0，若命题p是命题q的必要条件，则实数a的取值范围是____________．6.已知向量a、b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝__________.7.我们知道：过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类似地过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点(x0，y0)的切线方程为________________．8.方程2x－x＝2的实根个数为__________．9.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，抛物线y2＝8x的准线是双曲线的左准线，则双曲线的方程是________________．10.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1、F2，P为以椭圆长轴为直径的圆上任一点，则PF1→·PF2→＝__________.11.直线l过(1,1)点，且与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8相交于A、B两点，则弦AB最短时直线l的方程为__________________．12.函数f(x)＝2cos212x－12－xx－1的对称中心坐标为____________．13.在函数y＝acos(ax＋θ)(a、θ∈R，aθ≠0)的图象上，同一周期内的最高点与最低点之间距离的最小值为____________．14.直线l与函数y＝sinx(x∈[0，π])的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于B点，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则BA→·BC→＝__________.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC中，命题p：cosB＞0；命题q：函数y＝sin(π3＋B)为减函数．设向量m＝(sin(π3＋B)，sinB－sinA)，n＝(sin(π3－B)，sinB＋sinA)．(1)如果命题p为假命题，求函数y＝sin(π3＋B)的值域；(2)命题“p且q”为真命题，求B的取值范围；(3)如果向量m⊥n，求A.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]16.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；(2)求函数M(x)＝fx＋gx－|fx－gx|2的最大值；(3)如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]17.(本小题满分15分)如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方向解放路上选取A点，在A、B间修建南徐新路．(1)如果在A点处看市中心O和B点视角的正弦值为35，求在B点处看市中心O和A点视角的余弦值；(2)如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为1543km2，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；(3)如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定A、B两点的位置．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]18.(本小题满分15分)已知圆C方程为x2＋y2－8mx－(6m＋2)y＋6m＋1＝0(m∈R，m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上．(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x＋3y－3＝0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m＝2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A、B，使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，求出A、B坐标；若不存在，请说明理由．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]19.(本小题满分16分)已知等比数列{an}的首项a1＝2011，公比q＝－12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为∏(n)．(1)证明：S2≤Sn≤S1；(2)判断|∏(n)|与|∏(n＋1)|的大小；n为何值时，∏(n)取得最大值；(3)证明{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可使其成为等差数列；如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1，d2，d3，…，dn，…，证明：数列{dn}为等比数列．(参考数据210＝1024)凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]20.(本小题满分16分)函数y＝ex(e为自然对数的底数)的图象向下平移b(0＜b，b≠1)个单位后得到的图象记为Cb，Cb与x轴交于Ab点，与y轴交于Bb点，O为坐标系原点．(1)写出Cb的解析式和Ab、Bb两点的坐标；(2)判断线段OAb、OBb长度大小，并证明你的结论；(3)是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m、n，使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似，如果相似，能否全等？证明你的结论.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]镇江市高三数学附加题试卷第页(共2页)镇江市2011年高三期末考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.(本小题满分10分)某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好．若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元．如果存入银行，假设年利率为8%(不考虑利息可得税)，可得利息8000元．又假设经济形势好、中、差的概率分别为30%,50%,20%.试问应选择哪一种方案，可使投资的效益较大？(本小题满分10分)过点P(102，0)作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于不同两点M、N，求PM·PN的取值范围．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]23.(本小题满分10分)已知a、b、c为正实数，a＋b＋2c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥16.(本小题满分10分)设正项数列{an}(n≥5)，对任意正整数k(k≥3)恒满足：1a1a2a3＋1a2a3a4＋1a3a4a5＋…＋1ak－2ak－1ak＝k＋1ak－24ak－1ak，且a4＝4，a5＝5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在整数λ，使得λ对任意正整数n恒成立？凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]镇江市高三数学参考答案第页(共4页)镇江市2011年高三期末考试试卷数学参考答案及评分标准1.52.{4}3.354.40225.[－1,6]6.37.x0xa2＋y0yb2＝18.19.x212－y224＝110.b211.x＋y－2＝012.(1，－1)13.2π14.π2－4415.解：(1)由命题p为假命题，则cosB≤0.(1分)∵0＜B＜π，∴π2≤B＜π，(2分)∴56π≤B＋π3＜43π，(3分)∴y＝sin(π3＋B)的值域为－32，12.(4分)(2)∵命题“p且q”为真命题，由命题p：cosB＞0，解得0＜B＜π2；(5分)由命题q：函数y＝sin(π3＋B)为减函数，∵0＜B＜π2，∴π3＜B＋π3＜56π.(6分)∵函数y＝sin(π3＋B)为减函数，∴π2＜B＋π3＜32π，(7分)∴π2＜B＋π3＜56π，(8分)∴π6＜B＜π2.(9分)(3)∵m⊥m，∴m·n＝0，即sin(π3＋B)sin(π3－B)＋(sinB－sinA)(sinB＋sinA)＝0，(10分)32cosB＋12sinB32cosB－12sinB＋sin2B－sin2A＝0，(11分)34cos2B－14sin2B＋sin2B－sin2A＝0，∴sin2A＝34.(12分)∵0＜A＜π，∴sinA＝32，(13分)∴A＝π3或2π3.(14分)16.解：令t＝log2x，(1分)(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(t－1)2＋2，(2分)∵x∈[1,4]，∴t∈[0,2]，(3分)∴h(x)的值域为[0,2]．(4分)(2)(法1)f(x)－g(x)＝3(1－log2x)，当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴M(x)＝gx，fx≥gx，fx，fx＜gx，M(x)＝log2x，0＜x≤2，3－2log2x，x＞2，(6分)当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](法2)∵M(x)＝gx，fx≥gx，fx，fx＜gx，(5分)设f(x)，g(x)中的较小值为M，①t≥M，②3－2t≥M，(7分)①×2＋②得：3M≤3，M≤1，(8分)当t＝1，x＝2时，M＝1，∴M(x)max＝1.(9分)(3)由f(x2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，∵x∈[1,4]，∴t∈[0,2]，∴(3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0,2]恒成立，(10分)①当t＝0时，k∈R；(11分)②t∈(0,2]时，k＜3－4t3－tt恒成立，即k＜4t＋9t－15，(12分)∵4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号．(13分)∴4t＋9t－15的最小值为－3.综上：k＜－3.(14分)17.解：(1)由题可得∠AOB＝23π，(1分)∠BAO为锐角，sin∠BAO＝35⇒cos