高一,正余定理

《解三角形》例题解析一、知识梳理1.正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=bcacb2222.3.S△ABC=21absinC=21bcsinA=21acsinB,S△=))()((cSbSaSS=Sr(S=2cba,r为内切圆半径)=Rabc4(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2C=sin2BA,sin2C=cos2BA……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及Aasin=Bbsin=Ccsin，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理Aasin=Bbsin，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由Aasin=Ccsin求出C，而通过Aasin=Bbsin求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A=90°A90°ab一解一解一解a=b无解无解一解ababsinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、例题讲解一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1在△ABC中，(1)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C、c；(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨(1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量．(2)先由sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，求出a∶b∶c，再由余弦定理求出最大角．解(1)由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32，∵ab，∴AB＝45°，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22，当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.(2)根据正弦定理可知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，∴边c最大，即角C最大．设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C∈(0，π)，∴C＝2π3.回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1(1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积；(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．二、正、余弦定理在三角形中的应用例2在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2＝ac－bc.(1)求∠A的大；(2)求bsinBc的值．点拨(1)利用cosA＝b2＋c2－a22bc求解；(2)利用正弦定理对代数式bsinBc进行转化．解(1)∵b2＝ac且a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝60°.(2)方法一在△ABC中，由正弦定理得：sinB＝bsinAa，∵b2＝ac，∴ba＝cb.∴sinB＝bsinAa＝c·sinAb，∴bsinBc＝sinA＝sin60°＝32.方法二在△ABC中，由面积公式得：12bcsinA＝12acsinB∵b2＝ac，∴bcsinA＝b2sinB，∴bsinBc＝sinA＝sin60°＝32.回顾归纳(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA，tan(B＋C)＝－tanA，sinB＋C2＝cosA2等，进行三角变换的运算．►变式训练2在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B＋C2－cos2A＝72.(1)求∠A的度数；(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值．.三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．（Ⅰ）求cosCBE∠的值；（Ⅱ）求AE．解：（Ⅰ）因为0009060150,BCDCBACCD所以015CBE，0062coscos45304CBE（Ⅱ）在ABE中，2AB，故由正弦定理得00002sin4515sin9015AE故00122sin30262cos15624AE例4A、B、C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC22PA·PC·cos75°，即4=2x2+4x242x2·624，解得x2=2(43)13，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin75°，得PD020sin7522sin752PAPCxAC，=2(43)62753213413(km)．答塔到直路的距离为75313km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sinθ的值．课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定．2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．考试时间45分钟一、选择题（本大题共6小题，每小题10分，共60分。）1.在ABC中，已知a=1、b=2，C=120°,则c=（）A、3B、4C、7D、32.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于（）(A)1∶2∶3(B)3∶2∶1(C)2∶3∶1(D)1∶3∶23.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则（）A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（）（A）030（B）060（C）0120（D）01506.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=（）A－223B223C－63D63二、填空题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7.在△ABC中，若b=1，c=3，23C，则a=。8.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.三、解答题（本大题共3小题，共70分）9.（本小题满分20分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD．10.(本题满分25分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．11.（本小题满分25分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.