导数问题中的分类讨论

1导数中分类讨论近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。（1）求导)('xf（2）令)('xf=0（3）求出)('xf=0的根（4）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（5）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程)('xf=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述题型一：单调性的讨论例1.已知函数))(1ln()(2Raxaaxxxf,求函数)(xf的单调区间；例2.已知函数2()lnfxxxax，()aR，讨论()fx在定义域上的单调性。2例3.若函数xxaxxfln2)(（a≥0），求函数的单调区间。例4.（2010北京）已知函数f(x)=In(1+x)-x+22xk(k≥0)。求f(x)的单调区间。例5.（2009北京理改编）设函数kxxexf)(，求函数()fx的单调区间3题型二：极值、最值的讨论例1.已知函数2()lnfxaxx，aR.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线垂直于直线2yx，求a的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间(0,e]上的最小值.例2.已知函数21()ln(0).2fxxaxa(Ⅰ)若()fx在2x处的切线与直线3210xy平行,求()fx的单调区间;(Ⅱ)求()fx在区间[1,e]上的最小值.例3.已知函数()(1)exfxax=+.(I)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)当0a时,求函数()fx在区间[2,0]-上的最小值.4例4.已知函数()(2)exfxax在1x处取得极值.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数()fx在,1mm上的最小值;(Ⅲ)求证:对任意12,[0,2]xx,都有12|()()|efxfx.例5．32)2()(,32ln2)(xpxpxgxxxf若对任意的的取值恒成立，求实数pxgxfx)()(],2,1[范围5导数问题中分类讨论的方法近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。（6）求导)('xf（7）令)('xf=0（8）求出)('xf=0的根（9）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（10）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程)('xf=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述题型一：单调性的讨论例1.已知函数))(1ln()(2Raxaaxxxf,求函数)(xf的单调区间；解：1)22(212)('xaxxxaaxxf,若0a时，则1)22(2)(,122xaxxxfa0在（1，）恒成立，所以)(xf的增区间（1，）.若122,0aa则，故当]22,1(ax，01)22(2)('xaxxxf，当),22[ax时，01)22(2)(xaxxxf，所以a0时)(xf的减区间为（22,1a），)(xf的增区间为［),22a.例2.已知函数2()lnfxxxax，()aR，讨论()fx在定义域上的单调性。解：由已知得22()21,(0)axxafxxxxx，（1）当180a，18a时，()0fx恒成立，()fx在(0,)上为增函数．6（2）当180a，18a时，1)108a时，118118022aa，()fx在118118[,]22aa上为减函数，()fx在118118(0,],[,)22aa上为增函数，2）当0a时，11802a，故()fx在118[0,]2a上为减函数，()fx在[1182a，＋∞）上为增函数．综上，当18a时，()fx在(0,)上为增函数;当)108a时，()fx在118118[,]22aa上为减函数，()fx在118118(0,],[,)22aa上为增函数，当a＜0时，()fx在（0，1182a]上为减函数，()fx在[1182a，＋∞）上为增函数．例3.若函数xxaxxfln2)(（a≥0），求函数的单调区间。解：)0(212)(222xxxaxxxaxf令)('xf=0，即：022xax（注意这里方程的类型需要讨论）,20xa，则若作出2)(xxg的图像，由图像可知)(xf在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数若,0810aa，则由022xax，得aax281110,aax281120作出2)(2xaxxh的图像，由图像可知)(xf在上为增函数上为减函数，在（),),0(22xx7综上所述：时0a，)(xf在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数在时，)(0xfa）上为减函数，（aa28110在）上为增函数，（aa2811例4.（2010北京）已知函数f(x)=In(1+x)-x+22xk(k≥0)。求f(x)的单调区间。解：)1(1)1(111)(xxkkxxkxxxf令)('xf=0，即：0)1(kkxx（这里需要对方程01kkx的类型讨论）若k=0，则xxxf1)()(xf在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数若k≠0,由0)1(kkxx得，1110kxx或（这里需要对两个根的大小进行讨论）若k=1，则xxxf1)(2＞０，)(xf在（-1,＋∞）上为增函数若10k，则)(xf在)0,1(或),11(k上为增函数在)11,0(k上为减函数若1k，则)(xf在)11,1(k或),0(上为增函数在)0,11(k上为减函数综上所述：若k=0，)(xf在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数若10k，)(xf在)0,1(或),11(k上为增函数在)11,0(k上为减函数若k=1，)(xf在（-1,＋∞）上为增函数若1k，)(xf在)11,1(k或),0(上为增函数,在)0,11(k上为减函数8例5.（2009北京理改编）设函数kxxexf)(，求函数()fx的单调区间解：)1()(kxekxeexfkxkxkx令0)(xf，即01kx（这里需要对方程01kx的类型讨论）若ｋ＝０，则01)(xf，)(xf在Ｒ上为增函数若k≠0则由01kx得，kx1(这里需要对1kxy的斜率讨论)若k0则)(xf在)1,(k上为减函数，在),1(k上为增函数若k0，则)(xf在)1,(k上为增函数，在),1(k上为减函数综上所述：若k=0，)(xf在Ｒ上为增函数若k0则)(xf在)1,(k上为减函数，在),1(k上为增函数若k0，则)(xf在)1,(k上为增函数，在),1(k上为减函数题型二：极值、最值的讨论例1.已知函数2()lnfxaxx，aR.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线垂直于直线2yx，求a的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间(0,e]上的最小值.解:（Ⅰ）直线2yx的斜率为1.函数()yfx的导数为22()afxxx，则22(1)111af，所以1a.………………………………5分（Ⅱ）22()axfxx，x(0,).①当0a时，在区间(0,e]上22()0fxx，此时()fx在区间(0,e]上单调递减，则()fx在区间(0,e]上的最小值为2(e)ef.②当20a，即0a时，在区间(0,e]上()0fx，此时()fx在区间(0,e]上单调递9减，则()fx在区间(0,e]上的最小值为2(e)efa.③当20ea，即2ea时，在区间2(0,)a上()0fx，此时()fx在区间2(0,)a上单调递减；在区间2(,e]a上()0fx，此时()fx在区间2(,e]a上单调递增；则()fx在区间(0,e]上的最小值为22()lnfaaaa.④当2ea≥，即20ea≤时，在区间(0,e]上()0fx′≤，此时()fx在区间(0,e]上为单调递减，则()fx在区间(0,e]上的最小值为2(e)efa.综上所述，当2ea≤时，()fx在区间(0,e]上的最小值为2ea；当2ea时，()fx在区间(0,e]上的最小值为2lnaaa.…………………………………………13分例2.已知函数21()ln(0).2fxxaxa(Ⅰ)若()fx在2x处的切线与直线3210xy平行,求()fx的单调区间;(Ⅱ)求()fx在区间[1,e]上的最小值.【答案】解:(I)()fx的定义域为).,0(2'().axafxxxx由()fx在2x处的切线与直线3210xy平行,则43'(2),1.22afa此时2211()ln,'().2xfxxxfxx令'()01.fxx，得)(xf与)(xf的情况如下:x(0,1)1(1,))(xf—0+)(xf↘12↗所以,)(xf的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,)(II)由2'().axafxxxx10由0a及定义域为(0,),令'()0,.fxxa得①若1,01,aa即在(1,e)上,'()0fx,)(xf在[1,e]上单调递增,min1()(1)2fxf;②若21e,1e,aa即在1,)a（上,'()0fx,)(xf单调递减;在,e)a（上,'()0fx,)(xf单调递增,因此在[1,e]上,min1()()(1ln)2fxfaaa;③若2e,e,aa即在(1,e)上,'()0fx,)(xf在[1,e]上单调递减,2min1()(e)e.2fxfa综上,当01a时,min1();2fx当21ea时,min1()(1ln);2fxaa当2ea时,2min1()e.2fxa例3.已知函数()(1)exfxax=+.(I)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)当0a时,求函数()fx在区间[2,0]-上的最小值.【答案】解:定义域为R)1())(1()1()('''aaxeeaxeaxxfxxx(Ⅰ)①当0a时,0)('xexf,则()fx的单调增区间为),(②当0a