高一函数与方程的思想

三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。Ⅰ、再现性题组：1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a(a是常数)______。A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。5.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；4小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t2－t－1∈[－54,1]，所以答案：[－54,1]；5小题：设长x，则宽4x，造价y＝4×120＋4x×80＋16x×80≥1760，答案：1760。Ⅱ、示范性题组：例1.设a0，a≠1，试求方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有实数解的k的范围。(89年全国高考)【解】将原方程化为：loga(x－ak)＝logaxa22，等价于xakxakxa022（a0,a≠1）一种解题思路是采取“数形结合法”：将原方程化为：loga(x－ak)＝logaxa22，等价于x－ak＝xa22(x－ak0)，设曲线C1：y＝x－ak，曲线C2：y＝xa22(y0)，如图所示。由图可知，当－aka或－a－ak0时曲线C1与C2有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k－1或0k1。还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为xakxakxa022后，解得：xakxkak()212，所以()kak212ak，即kk212－k0，通分得kk2120，解得k－1或0k1。所以k的取值范围是：k－1或0k1。例2.设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x2－1)m－(2x－1)0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件ff()()2020。【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x2－1)m－(2x－1)0在[-2,2]恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1),则fxxfxx()()()()()()22121022121022yC1C2-ak-aax解得x∈（712,312）【注】本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1m(x2－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。例3.设f(x)＝lg1243xxa，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg1243xxa有意义的函数问题，转化为1＋2x＋4xa0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。【解】由题设可知，不等式1＋2x＋4xa0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(12)2x＋(12)x＋a0在x∈(-∞,1]上恒成立。设t＝(12)x,则t≥12，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－12∴t2＋t＋a＝0在[12,+∞)上无实根，即g(12)＝(12)2＋12＋a0，得a－34所以a的取值范围是a－34。【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。在解决不等式(12)2x＋(12)x＋a0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”：设t＝(12)x,t≥12，则有a＝－t2－t∈(－∞,－34]，所以a的取值范围是a－34。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。Ⅲ、巩固性题组：1.方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。A.1B.2C.3D.42.已知函数f(x)＝|2x－1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则_____。A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.2a2cD.2a＋2c23.已知函数f(x)＝loga(x2－4x＋8)，x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。A.12B.14C.2D.44.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。5.若关于x的方程|x2－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。6.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x2＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。7.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。8.已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：①.如果|α|2，|β|2，那么2|a|4＋b且|b|4；②.如果2|a|4＋b且|b|4，那么|α|2，|β|2。（93年全国理）14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2。①.求f(x)在Ik上的解析表达式；②.对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}。（89年全国理）