长沙市南雅中学2014年初三第一次模拟考试数学试卷及答案

南雅中学2013—2014—2学年初三第一次模拟考试数学试卷一。选择题（本题共10个小题，每小题分3分，共30分）1．下列运算中，正确的是（）A．34mmB．()mnmnC．236mm（）D．mmm222．函数13xyx中自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≠3C．x≥1且x≠3D．31xx且3.单词“HUNAN”的五个字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的字母是（）A.HB.UC.AD.N4.如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）5.正方形网格中，AOB∠如图放置，则sinAOB∠=（）Ａ．55Ｂ．255Ｃ．12Ｄ．26．下列命题中，错误的是（）A．矩形的对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．等腰梯形的两条对角线相等D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等7.已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2为2cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A.相交B.外离C.外切D.内切8．从n个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是12，则n的值是（）A．6B．3C．2D．19.已知反比例函数的图象经过点(21)P，，则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、三象限A．B．C．D．（第4题）题）题题题）题）ABO1OCBAABCDEDCBAC．第二、四象限D．第三、四象限10．二次函数2yaxbxc图象上部分点的坐标满足下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（－3，－3）B．（－2，－2）C．（－1，－3）D．（0，－6）二.填空题（本题共8个小题，每小题分3，共24分）11.-8的相反数是.12.2014年5月1日长沙地铁二号线正式运营，根据长沙市轨道交通集团发布的消息，当天客流量突破35万人次，这个数字用科学记数法表示为人次.13.化简：1313xxx=．14．一组数据2,1,0,6的中位数是。15.如图，O为直线AB上一点2630'COB，则∠1＝度．第15题16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=13AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为__________.第16题第17题第18题17.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=度．18．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD.若∠ABC=60°，BC=12，则梯形ABCD的周长为.三.解答题（本题共2道小题，每小题6分，共12分）19.计算：2-202sin45(31)20.解方程组：10231312yxyxACBDEFG1423题图24四、解答题（本题共2道小题，每小题8分，共16分）21.某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小明对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图.(1)表中a；（2）请将条形统计图补充完整；（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率有多少？22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为劣弧EF的中点。（1）求证：BC与⊙O相切（2）当AD=23，∠CAD=30º时，求劣弧AD的长。四、解答题（本题共2道小题，每小题9分，共18分）23.我市开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．24.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.次数10865人数3a21123次数人数108654O五、解答题（本题共2道小题，每小题10分，共20分）25.已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（2）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（3）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．26．已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为3A，、04C，，点D的坐标为D5，，点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积？请在图中画出P的位置，并且直接写出此时P点的坐标；（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使DOM△与ABC△相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求四边形DEPF的面积是否存在最小值，若存在，请求出此时DP的长度；若不存在，请说明理由．注：第（3）问请用备用图解答．备用图OyxOyxABCDABCD南雅中学2013—2014—2学年初三第一次模拟考试数学试卷一、CCAAB,BDBCB二、11.812.5105.313,314.115.5.15316.3117.11518.30三19.220213yx21.(1)4,(2)略（3）10322.（1）证明：连接OD，则OD=OA∴∠OAD=∠ODA∵DEDF∴∠OAD=∠CAD∴∠ODA=∠CAD∴OD//AC又∵∠C=90º∴∠ODC=90º即BC⊥OD,又点D在⊙O∴BC与⊙O相切（2）解：连接DE，则∠ADE=90º∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30º∴∠AOD=120º在Rt△ADE中，AE=234cos32ADEAD∴⊙O的半径r=2∴AD的长l=120241803四.23.解:（1）设甲队单独完成这项目需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天．根据题意，得6111612xxx解得30x．经检验，30x是原方程的根．则223060x．答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．则有1113060y．解得20y．需施工费用：20(0.670.33)20（万元）．2019，工程预算的施工费用不够，需追加预算1万元．24.解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD在△ABE和△DAF中3412DAAB∴△ABE≌△DAF-----------------------4分（2）∵四边形ABCD是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分在正方形ABCD中，AD∥BC∴∠1=∠AGB=300在Rt△ADF中，∠AFD=900AD=2∴AF=3DF=1----------------------------------------8分由(1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1∴EF=AF-AE=13-----------------------------------------9分25.解：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1，2x=31．∴该抛物线与x轴交点坐标是（﹣1，0）和（31，0）；（2分）（2）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤31．①当c=31时，由方程3x2+2x+31=0，解得x1=x2=﹣31．此时抛物线为y=3x2+2x+31与x轴只有一个公共点（﹣31，0）；（4分）②当c＜31时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-31，应有即，解得﹣5＜c≤﹣1．综上，c=31或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（3）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（8分）∴△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴．（9分）又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象，可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）26．解：（1）连结BO与AC交于点H，则当点P运动到点H时，直线DP平分矩形OABC的面积．由已知可得此时点P的坐标为3(2)2P，．..........................................................3分（2）存在点M使得DOM△与ABC△相似．如图，不妨设直线DP与y轴的正半轴交于点(0)mMy，．因为DOMABC，若△DOM与△ABC相似，则有OMBCODAB或OMABODBC．当OMBCODAB时，即354my，解得154my．所以点115(0)4M，满足条件．当OMABODBC时，即453my，解得203my．所以点220(0)3M，满足条件．由对称性知，点315(0)4M，也满足条件．综上所述，满足使DOM△与ABC△相似的点M有3个，分别为115(0)4M，、220(0)3M，、MPHDCBAOyx315(0)4M，．································································································6分（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为52画圆，过点D分别作P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为52画圆，过点D分别作P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×1522DEPEDEPEDE．∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．∵222DEDPPE，2221111DEDPPE，∴222211DEDEDPDP．∵1DPDP，∴2210DEDE．∴1DEDE．由1P点的任意性知：DE是D点与切点所连线段长的最小值．8分在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，∠DAP＝∠CAO，∴△ADP∽△AOC．∴DPCODACA，即485DP．325DP．∴22102425347125410DEDPPE．∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝34714，即Ｓ＝34714．···················