第2章-产品建模数学理论基础

第2章产品建模数学理论基础2.1曲线数学基础2.2曲面数学基础2.3曲面工程基础本章学习目的•学习目的了解自由曲线或曲面的基本概念了解NURBS曲线或曲面的数学定义及特点了解曲面应用的相关知识理解曲线或曲面的生成原理理解自由曲线或曲面造型中的相关术语理解工程中曲面的分类2.1曲线数学基础1、样条的相关概念“样条”是什么，从何而来？用均匀的带弹性的木条、有机玻璃条或者金属条通过一系列点来绘制所需的曲线(模线)，依此作成样板来作为生产与检验的依据，这些木条（有机玻璃条或者金属条)就被称为“样条”。这些曲线和曲面不能用解析表达式来表示，可以用插值和逼近两种方法来设计自由曲线和曲面。已知条件：P0,P1,P2‥‥Pn共n+1个点。插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。曲线插值方法有多项式插值，分段多项式插值，样条函数插值等。逼近方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一定要求通过每个点。逼近方法有昀小二乘法，Bezier方法，B样条方法等。用插值或逼近来构造曲线的方法通称为曲线拟合方法。控制点：用来定义样条曲线和曲面的点。控制多边形（或控制多面体）：用直线将控制点一次连接起来形成的多边形或多面体。对于Bezier曲线和B样条曲线，它们不会超出其控制多边形所形成的凸包。凸包：包围一个形状的昀小凸区域。样条凸包性可以用于样条曲线的近似求交测试，即在计算两个曲线的交点之前先测试其凸包的相对位置。自由曲线的形状受控制点和基函数的影响。基函数是曲线的规则化参数表达式与笛卡尔坐标之间的一个映射。借助基函数可以用一个给定的u值（u∈[0,1]）表示一个点的笛卡尔坐标（x，y，z）2、曲线和曲面的形状数学描述形状数学描述的基本要求：9从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性：要求所采用的数学方法应满足由已经给定的有限信息决定的形状是唯一的（2）几何不变性：当用有限的信息决定一个曲线时，曲线的形状应是确定的，不应随所取坐标系的不同而改变（3）易于定界：曲线应是有界的，对形状的数学描述应易于定界（4）统一性：¾要能统一表示各种形状及处理各种情况统一表示各种形状及处理各种情况,,包含各种特殊情况，包含各种特殊情况，例如曲线描述要求用一种统一的形式表示平面曲线和空间曲例如曲线描述要求用一种统一的形式表示平面曲线和空间曲线线¾¾更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能表示自由更高的要求是希望找到一种统一的数学形式，既能表示自由曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，从而建立统一的数曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，从而建立统一的数据库，便于形状信息的传递据库，便于形状信息的传递9从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接：曲线段，曲面片之间的连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观：容易为工程技术人员理解和接受曲线曲面的表示形式：9曲线的表示形式（1）显式表示（2）隐式表示⎩⎨⎧==)x(gz)x(fy⎩⎨⎧==0)zy,x,(g0)zy,x,(f（3）参数表示：空间点P的每一个坐标均可被表示为某个参数t的函数参数的含义：时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0,1]⎪⎩⎪⎨⎧∈===],[z(t)zy(t)yx(t)xbatabatt−−=′参数矢量表示形式P(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)),等价于笛卡儿分量表示:P(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k非参数方程存在如下问题：1）形状与坐标轴相关2）会出现斜率无穷大的情况3）对于非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示4）不便于编程和计算机处理参数表示的优点：1）容易进行物理解释2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状3）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算4）设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数有明显的几何意义3、曲线的生成原理9几何法曲线生成原理平面直线的表示：控制点为P1，P2()()()()222111,,1,yxuPyxPuyxP+−=抛物线的三切线定理：令上式等于u:(1-u)，整理得：计算得：()()()()()2210220111020211110101120201021111111010011102110112200121111,3PuPuuPuPuPPuPuPPuPuPPuPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP+−+−=+−=+−=+−===则如下比例成立：和于和点，过的切线交于的两切线交个顺序不同的点。过是一条二次曲线上、、设当u从0到1变化时，它表示了由3个顶点P0、P1、P2定义的一条二次Bezier曲线。由此类推，由4个控制点可以定义三次Bezier曲线。由n+1个控制点Pi（i=0，1，…，n）定义的n次Bezier曲线可被定义为分别有前、后n个控制点定义的两条n-1次曲线的线性组合Bezier曲线就是参数多项式曲线，它由一组控制多边形折线（控制多边形）顶点惟一地定义。对于Bezier曲线，在控制多边形的各顶点中，只有第一个和昀后一个顶点在曲线上，其它的顶点则用以定义曲线的导数、阶次和形状。由于曲线的形状趋向于控制多边形的形状，所以改变多边形的顶点就会改变曲线的形状，这就使观察者对输入、输出关系有直观的感觉。()[]()⎩⎨⎧−==+−==∈+−=−+−−−0;110Bezier101111k11100kninkuPPukPPuuPPuPkikiiinnnLL曲线的递推计算公式：由此得到，9解析法曲线生成原理：1）三次Hermite样条曲线定义：空间曲线的3次参数方程为：写成矩阵形式为：()Hermite曲线为曲线次多项式，称满足下列条件的三个矢量给定tP,,,41010RRPP1010)1(,)0()1(,)0(RPRPPPPP=′=′==令，并将曲线的两个端点P0和P1出的边界条件代入得：可推得：该曲线的形状由曲线端点的位置矢量和切向矢量决定。当曲线端点的边界条件变化是，曲线的形状随之变化。2）三次Bezier曲线已知，则满足条件的三次样条曲线的方程为：当p=3时，上式可写成：若将4个控制点的代号改用表示，则方程可改写为：由这4个控制点连成的多边形就是该曲线的特征多边形，Bezier曲线的形状是通过这4个顶点唯一地定义出来的，特征多边形的形状改变，曲线的形状也就随着改变。Bezier曲线的缺点：（1）Bezier曲线或曲面不能作局部修改；（2）Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。3）三次均匀B样条曲线1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。它对特征多边形逼得更近，在设计中得到了越来越多的应用。三次B样条曲线的矩阵表达式为：B样条曲线的优点：（1）与控制多边形的外形更接近（2）局部修改能力（3）任意形状，包括尖点、直线的曲线（4）易于拼接（5）阶次低，与型值点数目无关，计算简便B样条曲线的缺点：（1）不能精确表示圆3、曲线数学知识9曲线的分类按数学形式分，曲线可以分为：直线圆锥曲线、Bezier曲线、样条曲线等。圆锥曲线包含圆、椭圆、双曲线、抛物线。样条曲线包括均匀B样条曲线、非均匀有理B样条曲线。9曲线公式样条曲线是通过一系列离散点连接成的光滑曲线。利用计算机绘制曲线必须给出公式，人们根据材料力学的方法，将样条看成弹性细曲梁，从而创造出样条计算公式。B样条曲线的形状的影响因素有：控制点、节点向量、曲线次数以及控制点上权因子。含有权因子的B样条曲线称为有理B样条曲线。其数学定义式为：式中：Pk为第k+1个控制点的位置向量；B(k,D)(u)为点k处的D次B样条基函数；wk为点k的权因子。对于有理B样条曲线来说，如果其节点向量是非均匀的节点向量，则昀后所产生的曲线叫非均匀有理B样条(NURBS)曲线。节点向量：支撑区间边界称为节点，它是有参数u定义的，所有支撑区间的边界构成的数列称为节点向量。节点决定了曲线段连接的位置。节点向量的长度由曲线的次数和控制点的数量确定。单个节点的数值的重复次数被称为重复度。节点的重复将降低取向的连续性。9曲线的连续性当许多参数曲线段首尾相连构成一条曲线时，如何保证各曲线段在连接处具有合乎要求的连续性是一个重要问题。假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：这里讨论参数曲线两种意义上的连续性：参数连续性和几何连续性。]t,[tt)(i1i0∈=tppii1）参数连续性0阶参数连续性：记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即第一个曲线段在ti1处的x,y,z值与第二个曲线段在t(i+1)0处的x,y,z值相等：)()(0)1()1(1++=iiiitptpii+11阶参数连续性：记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数（切线）：)()()()(0)1()1(10)1()1(1++++′=′=iiiiiiiitptptptp且ii+12阶参数连续性：记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。类似地，还可定义高阶参数连续性。对于C2连续性，交点处的切向量变化率相等，即切线从一个曲线段平滑地变化到另一个曲线段。(a)0阶连续性(b)1阶连续性(c)2阶连续性2）几何连续性曲线段相连的另一个连续性条件是值几何连续性。与参数连续性不同的是，它只需曲线段在相交处的参数导数成比例即可。0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例。2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。)()(0)1()1(1++=iiiitptp9曲线的控制点、局部控制及全局控制控制点即设计者用来控制曲线形状的哪些点。当曲线通过控制点时，这些点也称为型值点。由于某一控制点位置的改变，曲线的形状也会随之变化。若这种变化是整体的，则把这种控制点称为全局控制。如果这种变化仅发生在以该点为中心的邻近区域，则称为局部控制。型值点与控制点全局控制与局部控制9曲线的阶、次和段数由不同幂指数变量组成的表达式称为多项式。多项式中昀大指数称为多项式的阶。样条曲线由多段构成，每一段样条曲线的控制点的个数称为该段样条曲线的次。其阶数值等于次数值减一。曲线的阶次用于判断曲线的复杂程度。曲线的阶次越高，曲线就越复杂，计算量就越大。9曲线的斜率和曲率曲线的斜率是指曲线上的指定点的斜率，表示曲线上该点处处外切线的倾斜角的正切。斜率表明曲线在该点的弯曲方向。曲线的曲率：如果动点M沿曲线一道N点，曲线上的切线转动的角度称为转角。如果两弧的长度相等，那么切线转角大的，曲线弧的弯曲程度也大。以单位长度曲线的切线转角来衡量曲线的弯曲程度。弧MN的两端的切线转角与弧长之比，称为该段弧的平均曲率。当弧长趋近于0时，如果MN的平均曲率存在，则称K为该曲线在该点的曲率。即2.2曲面数学基础1、曲面生成原理曲面的表示可以看作曲线表示方法的延伸和扩展。曲面用双参数向量函数来表示，即9Coons曲面在讨论Hermite样条插值曲线时，我们知道了它是使用两个端点的坐标值及端点处的导数来决定一条曲线段。与此类似，Coons曲面是使用曲面片角点和角点处的偏导数来决定曲面。Coons曲面的一套简缩记号：曲面S(u,v)：4个角点位失：4个角点沿u向的切失：4个角点沿v向的切失：4个角点处的扭失：上述16个信息控制了Coons曲面的信息，前三组决定了边界曲线的形状和位置。第4组信息反映了曲面的凹凸。角点信息矩阵为：Hermite样条曲线是利用Hermite样条调和函数对边界条件调和而生成，而Coons曲面是使用Hermite样条调和函数对角点信息矩阵进行调合生成曲面。Coons双三次曲面的数学表达式如下：式中双三次Coons曲面的主要缺点是必须给定矩阵[C]中的16个向量，才能唯一确定曲面片的位置和形状，而要给定扭矢量是相当困难的，因而使用起来不太方便。另外，两个曲面片之间的光滑连接也需要两个角点信息矩阵中相应偏导和混合偏导满足一定的条件。9Bezier