阶段性测试题一集合与函数(详解)

阶段性测试题一(集合与函数)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·黄冈市期末)已知集合A＝{x||x|＝－x}，B＝{0，－1，－2，－3}，则()A．ABB．BAC．A∪B＝BD．A∩B＝∅[答案]B[解析]A＝{x||x|＝－x}＝{x|x≤0}，B＝{0，－1，－2，－3}，∴BA，故选B.(理)(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设集合A＝{x|－x2－3x0}，B＝{x|x－1}，则A∩B＝()A．{x|－3x－1}B．{x|－3x0}C．{x|x－1}D．{x|x0}[答案]A[解析]∵A＝{x|－x2－3x0}＝{x|－3x0}，∴A∩B＝{x|－3x－1}．2．(文)(2011～2012·江西赣州市期末)若f(x)＝1log122x－1，则f(x)的定义域为()A．(12，1)B．(12，1]C．(12，＋∞)D．(1，＋∞)[答案]A[解析]要使f(x)有意义，应有log12(2x－1)0，∴02x－11，∴12x1，故选A.(理)(2011～2012·吉林重点中学一模)函数f(x)＝3x23x＋1＋2lg(1－x)的定义域是()A．(－13，＋∞)B．(－13，1)C．(－13，13)D．(－∞，－13)[答案]B[解析]要使函数f(x)有意义，应有3x＋10，1－x0，∴－13x1.故选B.3．(文)(2011～2012·黄冈市期末)设n∈{－1，12，1,2,3}，则使得f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]f(x)＝xn为奇函数，则n＝－1,1或3，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴n＝－1，故选A.(理)(2011～2012·上学期佛山市质检)下列函数中既是奇函数，又在区间(－1,1)上是增函数的为()A．y＝|x|B．y＝sinxC．y＝ex＋e－xD．y＝－x3[答案]B[解析]y＝|x|是偶函数，y＝ex＋e－x为偶函数，y＝－x3是减函数，故选B.4．(文)(2011～2012·吉林省重点中学一模)设集合U＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1,2}，则A∪(∁UB)＝()A．{0,1,2}B．{1,2}C．{2}D．{1}[答案]A[解析]∵∁UB＝{0,1}，∴A∪(∁UB)＝{0,1,2}，故选A.(理)(2011～2012·北京石景山区期末)设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U(A∪B)＝()A．{3}B．{2}C．{1,2,4}D．{1,4}[答案]A[解析]A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3}．5．(2011～2012·上学期青岛市期末)已知f(x)＝cosπxx≤0fx－1＋1x0，则f(43)＋f(－43)的值为()A.12B．－12C．－1D．1[答案]D[解析]∵－430，∴f(－43)＝cos(－4π3)＝cos(－2π＋2π3)＝cos2π3＝－12，又∵430，∴f(43)＝f(43－1)＋1＝f(13)＋1＝f(13－1)＋1＋1＝f(－23)＋2＝cos(－2π3)＋2＝－12＋2＝32，∴原式＝－12＋32＝1.6．实数a＝0.32，b＝log20.3，c＝(2)0.3的大小关系正确的是()A．acbB．abcC．bacD．bca[答案]C[解析]a＝0.320.30＝1，∴0a1，b＝log20.3log21＝0，c＝(2)0.3(2)0＝1，∴bac.7．(文)(2011～2012·豫南九校联考)函数f(x)＝(13)x－x的零点所在区间为()A．(0，13)B．(13，12)C．(12，1)D．(1,2)[答案]B[解析]f(0)＝10，f(13)＝393－330，f(12)＝33－220，知f(x)的零点所在区间为(13，12)．(理)(2011～2012·河北五校联盟模拟)若方程lnx＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]∵a、b∈Z，b－a＝1，∴a、b是相邻的两个整数，令f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－30，f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln3－10，∴f(x)在(2,3)上存在零点，即方程lnx＋x－4＝0在(2,3)上有根，又f(x)为增函数，∴方程lnx＋x－4＝0在(2,3)上有且仅有一根，∴a＝2.8．(2011～2012·重庆市期末)把函数y＝cosx－3sinx的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C[解析]y＝cosx－3sinx＝2cos(x＋π3)的图象向右平移π3个单位得到图象对应函数y＝2cosx为偶函数，故若左移m个单位后所得图象关于y轴对称，则m最小值为π－π3＝2π3(注意此函数的半个周期为π)．9．(文)(2011～2012·吉林省重点中学一模)设a1，函数f(x)＝a|x|的图象大致是()[答案]A[解析]f(x)＝a|x|＝axx≥01axx0，∵a1，∴x≥0时，f(x)＝ax单调递增，x0时，f(x)单调递减，且f(0)＝1，故选A.(理)(2011～2012·东营市期末、南昌一模)函数y＝x12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()[答案]B[解析]解法一：在函数y＝x12－1中，x＝1时，y＝0；x＝0时，y＝－1，故其关于x轴对称的函数图象过(1,0)，(0,1)点，故选B.解法二：y＝x12－1可由y＝x的图象向下平移一个单位得到，再将其关于x轴对称知选B.10．(文)(2011～2012·湖北襄阳市调研)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|[答案]B[解析]由函数为偶函数排除A，由函数在(0，＋∞)上单调递增，排除C、D，故选B.(理)(2011～2012·山东苍山县期末)设函数f(x)，对任意的实数x、y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，则f(x)在区间[a，b]上()A．有最大值f(a＋b2)B．有最小值f(a＋b2)C．有最大值f(a)D．有最小值f(a)[答案]C[解析]令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∵x0时，f(x)0，设a≤x1x2≤b，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在区间[a，b]上为减函数，故f(x)在[a，b]上有最大值f(a)，选C.11．(2011～2012·吉林延吉市质检)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于()A．－9B．9C．－3D．0[答案]B[解析]∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x－1)是奇函数，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，在此式中以x＋1代替x得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(8.5)＝f(0.5)＝9.[点评]令F(x)＝f(x－1)，∵F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，∴f(－x－1)＝－f(x－1)．12．(文)若关于x的方程log12x＝m1－m在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案]A[分析]要使方程有解，只要m1－m在函数y＝log12x(0x1)的值域内，即m1－m0.[解析]∵x∈(0,1)，∴log12x0，∴m1－m0，∴0m1.(理)(2011～2012·陕西师大附中模拟)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为()A．1B.12C.22D.52[答案]C[解析]令F(x)＝x2－lnx，则F′(x)＝2x－1x，令F′(x)＝0，∵x0，∴x＝22，当x22时，F′(x)0，F(x)单调递增，当0x22时，F′(x)0，F(x)单调递减，∴当x＝22时，F(x)取到极小值，此时|MN|取到最小值，∴t＝22.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)已知f(x)＝logax，(a0且a≠1)满足f(9)＝2，则f(3a)＝________.[答案]3[解析]∵f(9)＝2，∴loga9＝2，∴a＝3，∴f(3a)＝log33a＝a＝3.(理)(2011～2012·山东省苍山县期末)若幂函数f(x)的图象经过点A(2,4)，则它在A点处的切线方程为________．[答案]4x－y－4＝0[解析]设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点A(2,4)，∴4＝2α，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，故点A处切线的斜率k＝4，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.14．(2011～2012·南通市调研)已知A，B均为集合U＝{2,4,6,8,10}的子集，且A∩B＝{4}，(∁UB)∩A＝{10}，则A＝________.[答案]{4,10}[解析]设元素x0∈A，若x0∈B，则x0∈A∩B，若x0∉B，则x0∈∁UB，∴x0∈(∁UB)∩A；∵A∩B＝{4}，(∁UB)∩A＝{10}，∴A＝{4,10}．15．(文)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则当x0时f(x)0的解集是________．[答案](－2,0)[解析]当x≥0时，由f(x)＝2x－40得0≤x2，∵f(x)为偶函数，∴x0时，由f(x)0得－2x0.(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则f(x)的增区间为________．[答案](－∞，－12]和[12，＋∞)[解析]∵f(x)是奇函数，x∈R，∴f(－2)＝－f(2)，∴a＝0，∴f(x)＝x(|x|－1)，∴f(x)＝xx－1x≥0－xx＋1x0，∴f(x)的单调增区间为(－∞，－12]和[12，＋∞)．16．(文)(2011～2012·山东实验中学四诊)已知f(x)＝1x2＋1，则f[f(0)]＝________.[答案]12[解析]f(0)＝10＋1＝1，f[f(0)]＝f(1)＝11＋1＝12.(理)(2011～2012·黄冈市模拟)函数f(x)＝1x00x＝0－1x0，g(x)＝x2f(x－1)(x∈R)，则函数g(x)的零点个数有________个．[答案]2[解析]g(x)＝x2f(x－1)＝x2x10x＝1－x2x1，故零点有2个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·重庆期末)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{m－3≤x≤m＋3，m∈R}．(1)若A∩B＝[2,3]，求m的值；(2)若A⊆∁RB，求m的取值范围．[解析](1)由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴A＝{x|－1≤x≤3}，又B＝{x|m－3≤x≤m＋3}，所以由A∩B＝[2,3]得m－3＝2，∴m＝5.(2)∁RB＝{x|xm－3或xm＋3}，∵A⊆∁RB，