近世代数1

1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。（4）零元是零矩阵。A∈Mn(R),A+0=0+A=A。（5）A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。证明：显然GLn(R)是个非空集合。对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB,则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵1A，满足EAAAA11且∴A的逆元是1A.所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.证：（1）由于E∈On(R),∵On(R)非空。(2)任意A,B∈On(R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1,∴AB∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。(3)∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。（4）对任意A∈On(R)，有AE=EA=A．∴E为On(R)的单位元。（5）对任意A∈On(R)，存在AT∈On(R)，满足AAT=E=AA-1,ATA=E=A-1A．∴AT为A在On(R)中的逆元。∴On(R)关于矩阵的乘法构成一个群。4：证明：所有行列式等于1的n阶整数矩阵组成的集合SLn(Z),关于矩阵的乘法构成群。证明：∵En∈SLn(Z)，∴SLn(Z)是个非空集合。对任意A,B∈SLn(Z),记C=AB,则C是整数矩阵，且C=∣AB∣=∣A∣∣B∣=1,∴C∈SLn(R)，即SLn(R)关于矩阵的乘法封闭。（1）∵矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。（2）对任意的A∈SLn(Z)，AE=EA=A,且E∈SLn9Z),∴A的单位元是单位矩阵E。（3）对任意的A∈SLn(Z),因为A∈Mn(Z),故*A∈Mn(Z),又*11AAAA且11AA,所以1A∈SLn(Z),又EAAAA11,故A的逆元为1A。所以，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。5:在整数集中,规定运算“∈”如下：a⊕b=a+b-2,a,b∈Z.证明：（Z,⊕）构成群。证（1）对于任意a，b⊕Z有a⊕b=a+b-2∈Z，于是“⊕”在Z上构成代数运算。（2）对于任意a，b∈Z有，（a⊕b）⊕c=a+b+c-4．a⊕(b⊕c)=a⊕(b+c-2)=a+b+c-4，∴(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)于是结合律成立．（3）对于任意的a，b∈Z，a⊕b=a+b-2=b+a-2=b⊕a，那么“⊕”在Z上有交换律。（4）对于任意的a∈Z，有2⊕a=2+a-2=a，∴2为单位元．（5）对于任意的a∈Z，有4-a∈Z．(4-a)⊕a=4-a+a-2=2，∴4-a为a的逆元。∴（Z,⊕）构成群。6：分别写出下列各群的乘法表。（1）例6中的群；1-1i-i11-1i-i-1-11-iiiI-i-11-i-ii1-1(3)群Z7*；123456112345622461353362514441526355316426654321(4)群U(18).1571113171157111317557171111377171351111111151317713131111775171713117517：设G=。0,aRaaaaa证明：G关于矩阵的乘法构成群。证：记aaaa=aI，I=1111。（1）G非空，1111∈G。（2）aI,bI∈G，则a,b∈R,a,b0，∴2ab0,aIbI=2abI∈G。（3）a,b,c∈R,且a,b,c0,有（aIbI）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。（4）单位元为21I∈G.a∈R,a0,aI(21I)=21IaI=aI。（5）aI∈G，则a41I∈G。aI(a41I)=(a41I)aI=21I。∴（G，•）为群。8：证明：所有形如nm32的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。证明：记G={nm32|m，nZ}（1）G是一个非空集合；（2）221132,32nmnmG，有22113232nmnm=212132nnmmG，是G上的一个代数运算；（3）结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；（4）1是单位元。1=0032G，且1nm32=nm32；（5）nm32G，有nm32G，且nm32nm32=1；G关于数的乘法构成群。9：证明：所有形如100101cba的3*3实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群。这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberggroup）。证：（1）显然非空。（2）保持代数运算：Gcccabbaacbacba10021102121211100210221100110111。（3）结合律：。100310331100210221100110111100321023233211001101111001)23(1011)32()2323(1)23(1100)12(310)1212()12(33)12(31100310331100211021211100310331100210221100110111cbacbacbaccbcabaacbacccbaccbcabaaacccbcabaacbaaacbaccbbaacbacbacba（4）单位元为100010001，100101cba100010001=100010001100101cba=100101cba。（5）100101cba∈G，100101cbaca∈G，使100101cba100101cbaca=100101cbaca100101cba=100010001。∴G构成群。10：设G是群，a1,a2,…,ar∈G。证明（a1a2…ar）=ar-1ar-1-1…a1-1.证：∵G为群，ai∈G,i=1,2,…r.则a1a2…ar∈G,ar-1ar-1-1…a1-1∈G.∴（ar-1ar-1-1…a1-1）（a1a2…ar）=（ar-1…a2）(a1-1a1）(a2…ar）=（ar-1…a2）(a2…ar)=...=ar-1ar=e.又（a1a2…ar）（ar-1ar-1-1…a1-1）=（a1a2…）(arar-1）(ar-1-1…a1-1）=（a1…ar-1）（ar-1-1…a1-1）=…=a1a1-1=e.由逆元的惟一性知：（a1a2…ar）-1=ar-1ar-1-1…a1-1。11：设G是群，a，bG，证明：如果ab=e，则ba=e。证明：ba=eba=baaa)(1=aaba)(1=eaa1=e。或ba=bae=)(1bbba=1)(babb=1beb=e。12.设G是群。证明：如果对任意的x∈G,都有x2=e，则G是一个交换群。证明：对任意a,b属于G,∵eaa∴1aa。故baababab111，所以群G是交换群。13：设G是群。证明：G是交换群的充分必要条件是对任意的a,b∈G,(ab)2=a2b2.证：“=”∵G是交换群。∴对于任意的a，b∈G，有ab=ba那么(ab)2=(ab)(ab)=a(ab)b=a2b2“=”令G为群假设对于任意的a，b∈G，“（ab）2=a2b2，即abab=aabb．=ba=ab，(消去律)∴G为交换群。14:设G是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G满足结合律，有左单位元，且右消去律成立，则G是一个群.证∵G是具有乘法运算的非空有限集合，设G={a１,a2```,an}，对于任意的a∈G，Ga={a1a,a2a,```ana}=G．且G满足结合律，有左单位元．∴存在aia=e∈G，即ai为a的左逆元．于是G是一个群。15.证明：一个具有乘法运算的非空集合G，如果满足结合律，有右单位元（即有eG，使对任意的aG，有ae=a），且G中的每个元素有右逆元（即对每个aG，有'aG，使'aa=e），则G构成群。证明：（必要性）由群的定义，这是显然的。（充分性）只需证：e是G的单位元，'a是a的逆元即可。设aG，由条件知，存在'aG，使'aa=e。同时又存在''aG，使'''aa=e。于是aa'=aea'=)(''''aaaa='''')(aaaa='''eaa='''aa=e，且ea='aaa=)('aaa=ae=a。联系题设条件知，e是G的单位元，'a是a的逆元。G为群。16:设G是有限群。证明：G中使x3=e的元素x的个数是奇数.证：∵G是有限群，A={x∈G|x3=e}．∵e∈G且e3=e，∴e∈A．又对于任意的x∈A,x≠e,存在x-1∈A，满足（x-1）3=（x2）3=x6=（x3）2=e2=e。∴A中的元素个数是奇数。17：设p,q是不同的素数。假设H是整数集的真子集，且H关于加法是群，H恰好包含集合{p,p+q,pq,pq,qp}中的三个元素。试确定以下各组元中哪一组是H中的这三个元素？（A）pq,pq,qp;(B)p,p+q,pq:(C)p,pq,pq:(D)p+q,pq,pq:(E)p,pq,qp.解：（C）。（（A）(pq,qp)=1,p(mpq+nqp)=p∈H,矛盾。（B）(p,p+q)=1,q∈H,矛盾。（C）全为p的倍数，不能生成q的倍数，故也没有p+q。（D）q(p+q)-pq=q2∈H,(pq,q2)=1,=p,q∈H,矛盾。（E）(pq,qp)=1,mpq+nqp=1,(p+q)(mpq+nqp)=p+q∈H,矛盾。）18：假设下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元。eabcdeeabcdaabcdebbcdeaccdeabddeabc抽象群的一般概念一个集G，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群：①G中有一个闭合的结合法。这就是说，G中任意两元a，b的结合c仍然是G中元。结合法通常写成乘法，这时c又叫做a,b的积。一般用记号ab=c或a·b=c表示。要注意，积ab虽然是由a,b唯一决定的，但一般它还与a,b的顺序有关。即ab不一定等于ba。②G的结合法满足结合律。也就是说，对于G中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。③G中有一个（左）单位元e，对G中任意元a，有ea=a。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把e就叫做单位元。④对于G中任意元a，在G中有一个满足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此处e就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。编辑本段例题例题：设非