高一数学函数值域方法汇总

四川省天全中学刘锐求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。例1求函数如图，∴y∈[-3/4,3/2].21(11)2yxxx的值域。分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。2minmax13(),1,1,2433,1,,42yxxyxy解：1x=，2oxy-113/2-3/41/2例2求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。21223xxx2xy=的值域。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故≠1/2.当2y-1≠0,即y≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0得3/10≤y≤1/2,综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。2221,10,2(1)1xxyuxxxx令111,,01121222uyyyuuuu在上22min131131(),,.124210234uxxxxy而故∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2）例3求函数的反函数的定义域.分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的值域，可用不等式法求解。11xxeye解：变形可得1(1)1,1,01xxyyeyyey0(1)(1)0,1yyy＋1即故－y1.y-1∴反函数的定义域为(-1,1)。例4求下列函数的值域：(1)y=6x2-2x3,(0x3);(2)若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：3(3)22(3)88.223xxxxxx2y=2x(3-x)=24当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0x3时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。（2）解法1(均值不等式)411aa+34由已知得b=即ab=a+b+3=a+4+a-1a-14(1)5,31aababa又由得，(1)30,10.baaa44(1)52(1)59,11abaaaa当且仅当a=3时取等号。故ab∈〔9，+∞）解法2：（不等式法）32230ababababab由+3得，3)(1)0030,abab即（ab由于ab即ab3,当a=3,b=3时取等号，故ab∈〔9，+∞）.例5求下列函数的值域：（1）y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。21解：（1）令t=3x-10,有x=(t+1),3min36565,y-,.21212ty，故2211365于是y=5-(t+1)+t=-(t-)+,33212(2),0,,2244cosy令x=2cos有cos2(cossin1)22sin()2,420,,sin()1.42(21),24y即值域为y∈〔-4,2√2-2〕例6求下列函数的值域：22212(1)2;(2)log(21).xxyyxx分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y∈〔1/2,+∞).(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u0,故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函数值域的为y∈〔-1,+∞)。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数变形为：22(35)22815yxxxx例7求下列函数的值域：（1）y=√x-3+√5-x;(2)y=√x-3-√5-x.222(4)1,(35)xx由x∈[3,5]知，-x2+8x-15∈[0,1],即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时，ymin=√2,故原函数的值域为[√2，2]。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≧0,y看成常数,方程有实根的条件是=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≧0,注意到y0得y2-4≦0即0y≦4而y2-2≧0即有√2≦y≦2,∴y∈[√2,2].(2)解：由y=√x-3-√5-x得定义域为x∈[3,5].∵y=√x-3在[3，5]上是单调增函数，y=-√5-x在[3,5]上也是单调增函数。∴y=√x-3-√5-x在[3，5]上是增函数，当x=3时，ymin=-√2,当x=5时，ymax=√2,故原函数的值域为y∈[-√2,√2].例8已知圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求的最大值与最小值。yx分析：即求圆上的点P(x,y)到原点(0,0)的斜率的最值，可利用数形结合法求解。00yyxxxyoPC解：圆C方程为(x-2)2+y2=3，的最值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。设y=kx,如图，显然，当直线y=kx与圆C相切时k有最值，容易得出其最大与最小值分别为√3，-√3.yx例9已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划。解法1：条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2把此圆化为参数方程22cos,32sin.xy42(cossin)3xy222(cossin)32cos()3.224∴(x+y+4)max=5(x+y+4)min=1解法2（线性规划）∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值。222(3)423251.11zzzz故或∴(x+y+4)max=5(x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x例10求函数的值域。sin2cosxyx分析：利用三角函数的有界性较数形结合为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。0(sin)2cosxkx解：将原函数化为sinx+ycosx=2y22211(sincos)211yyxxyyy22212cos,sin,sin(),111yyxyyy令22233131.331yyyy由平方得例11求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明2211(13)(32)41.PAPBBABA最小，解：函数变形为y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).