高一数学必修1(北师大版)同步练习3-6

3-6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础巩固一、选择题1．函数y＝ax与y＝－logax(a0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是()[答案]A[解析]排除法：∵函数y＝－logax中x0，故排除B；当a1时，函数y＝ax为增函数，函数y＝－logax为减函数，故排除C；当0a1时，函数y＝ax为减函数，函数y＝－logax为增函数，故排除D，所以选A.2．函数y1＝2x与y2＝x2，当x0时，图像的交点个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]作出函数图像，易知有2个交点(2,4)和(4,16)．3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示．现给出以下说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是()A．①④B．②④C．②③D．①③[答案]B[解析]因为温度y随着时间t变化的图像是先凸后为平行于x轴的直线，即前5分钟每当t增加一个单位量Δt，y相应的增量Δy越来越小，故②正确；而5分钟后y关于t的增量为0，故④正确．故选B.4．某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只[答案]A[解析]当x＝1时，y＝100＝alog22，∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log28＝300，故选A.5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)[答案]A[解析]由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为()A．y＝0.9576x100B．y＝0.9576100xC．y＝0.9576100xD．y＝1－0.0424x100[答案]A[解析]设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则有95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－95.761001100，所以y＝(1－t)x＝0.9576x100.二、填空题7．方程2x＝2－x的解的个数为____________．[答案]1[解析]分别作出函数y＝2x与y＝2－x的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解．8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…，这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是________．[答案]y＝2x(x∈N＋)[解析]该函数为指数函数型y＝2x(x∈N＋)．三、解答题9．在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫作14C的半衰期)，它的残余量从a变为12a，则经过t年后的残余量a′与a之间满足a′＝a·e－kt.现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．[解析]a′＝a·e－kt，即a′a＝e－kt，两边取对数，得lga′a＝－ktlge，①又知14C的半衰期是5570年，即t＝5570时，a′a＝12，所以lg12＝－5570klge，即klge＝lg25570.②将②式代入①式，并整理得：t＝－5570lga′alg2.将a′a＝0.879代入得：t＝－5570×lg0.879lg2≈1036(年)．即古莲子约是1036年前的遗物．能力提升一、选择题1．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a，b为常数，a1b0)，若x∈(1，＋∞)时，f(x)0恒成立，则有()A．a－b1B．a－b≥1C．a－b1D．a－b≤1[答案]B[解析]由x1，a1b0，知axa，bxb，从而ax－bxa－b.由题意，得ax－bx1恒成立，故a－b≥1，故选B.2．用固定的速度向下图形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是()[答案]B[解析]t越来越大时，h增大的较快，而A、D是匀速增长的，瓶子应为直筒状，C表示的瓶子应是口大于底，故选B.二、填空题3．函数y＝x＋1x0exx≥0的反函数是________．[答案]y＝x－1，x1lnx，x≥1[解析]∵x0时，y＝x＋1，∴x＝y－1，∵x0，∴y1，∴其反函数为y＝x－1(x1)．又x≥0时，y＝ex，∴x＝lny.∵x≥0，∴y≥1，∴其反函数为y＝lnx(x≥1)，∴反函数为y＝x－1，x1，lnx，x≥1.4．四个变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：xy1y2y3y405555513094.478302.3107105051758.2551.429515113033733801.14072020056.37×1051051.04612531301.2×1071301.01513045052.28×1081551.005关于x呈指数型函数变化变量的是______________．[答案]y2[解析]根据数字增长特征．三、解答题5．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[分析](1)由题中所给函数式令v＝0即可；(2)令函数式Q＝80即可求得此时的v.[解析](1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得：0＝5log2Q10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得y＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.6．已知实数p、q满足lg(log3p)＝lg(2－q)＋lg(q＋1)，求p的取值范围．[解析]由已知lg(log3p)＝lg(2－q)＋lg(q＋1)，得lg(log3p)＝lg[(2－q)(q＋1)]．∴log3p＝(2－q)(q＋1)，又由题设可知p0，2－q0，log3p0，q＋10.∴p1且－1q2.令t＝－q－122＋94，当－1q2时，0t≤94.∴p＝3t在t∈0，94时的值域为p∈1，394.∴p的取值范围是1，394.7．要建造一个容积为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内(精确到0.1m)?[解析]设水池总造价为y元，水池长度xm，则y＝12x＋2400x×95＋12006×135，(*)画出函数(*)和函数y＝7的图像．由图可知，若y≤7，则x应介于[x1，x2]之间，x1，x2即为方程12x＋2400x×95＋12006×135＝70000的两个根．解得x1≈6.4，x2≈31.3.所以，水池的长与宽应该控制在[6.4,31.3]之间．