高一数学w《2.3等差数列的前n项和(二)》

2.3等差数列的前n项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：复习准备：通项公式：an＝a1＋(n－1)d，求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d二、讲授新课：下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.［例1］求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和.分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.解：由m＜100，得7n＜100，即n＜1007＝1427所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7，7×2，7×3，7×4，…7×14，即：7，14，21，28，…98这个数列是等差数列，记为{an}，其中a1＝7，a14＝98，n＝14则S14＝14（7＋98）2＝735答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的关系，然后确定a1与d，从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知S10＝310，S20＝1220将它们代入公式Sn＝na1＋n（n－1）2d，得到10a1＋45d＝31020a1＋190d＝1220解这个关于a1与d的方程组，得到a1＝4，d＝6所以Sn＝4n＋n（n－1）2×6＝3n2＋n这就是说，已知S10与S20，可以确定这个数列的前n项和的公式，这个公式是Sn＝3n2＋n.练习1na根据下列条件，求相应的等差数列的有关未知数。nnanSda及求15,21,23)1(1425242aaS求）（结论1、等差数列求和公式：22)(111naaaanSnnn2、ndanddnnnaSn222)1(121可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。3、若数列{an}是等差数列，则数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn(A、B为常数)探究1：数列na的前n项和nS与na的关系：例3、已知数列na的前n项和为212nSnn，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列na的前n项和nS与na的关系：由nS的定义可知，当n=1时，1S=1a；当n≥2时，na=nS-1nS，即na=)2()1(11nSSnSnn.练习：已知数列na的前n项和212343nSnn，求该数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？探究：一般地，如果一个数列,na的前n项和为2nSpnqnr，其中p、q、r为常数，且0p，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由此，等差数列的前n项和公式2)1(1dnnnaSn可化成式子：n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.探究2.等差数列前n项和的最值问题：例3、已知等差数列....,743,724,5的前n项的和为nS，求使得nS最大的序号n的值。结论5：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当1a0，d0，Sn有最大值奎屯王新敞新疆可由01nnaoa，求得n的值；当1a0，d0，Sn和有最小值奎屯王新敞新疆可由01nnaoa，求得n的值.（2）由n)2da(n2dS12n利用二次函数配方法求得最值时n的值.练习：1、在等差数列{na}中,4a＝－15,公差d＝3,求数列{na}的前n项和nS的最小值.结论4：即{an}是等差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数)2、在等差数列{na}中，1a＝25，917SS,求Sn的最大值探究3：由例2讨论以下问题把本例命题加以变化，可得到一个一般性结论：数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列（k∈N*）证明：Sk＝a1＋a2＋…＋ak(S2k－Sk)＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k＝(a1＋kd)＋(a2＋kd)＋…＋(ak＋kd)＝(a1＋a2＋…＋ak)＋k2d＝Sk＋k2d(S3k－S2k)＝a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k＝(ak+1＋kd)＋(ak+2＋kd)＋…＋(a2k＋kd)＝(ak+1＋ak+2＋…＋a2k)＋k2d＝(S2k－Sk)＋k2d∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是以Sk为首项，k2d为公差的等差数列.结论6:等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列（k∈N*）三、课堂小结：1、等差数列求和公式：22)(111naaaanSnnn2、ndanddnnnaSn222)1(1213、等差数列的前n项和公式2)1(1dnnnaSn可化成式子：n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.4、na=)2()1(11nSSnSnn5、求＂等差数列前n项和的最值问题＂常用的方法有：（1）满足001nnaa且的n值；（2）由,)2(22)1(121ndanddnnnaSn利用二次函数的性质求n的值；6、等差数列{an}中Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列四、课外作业：作业：1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?解：(1)由an＝24－3n知当8n时，0na，当9n时，0na，前8项或前7项的和取最大值.(2)由bn＝2n－17n知当8n时，0na，当9n时，0na，前8项的和取最小值.301S问题、若此题改为求的值呢？1020302SSS问题、，，这三个值成等差吗？若不能，你能根据它们三个构造一个等差数列吗？303S问题、由此你还有其他计算的解法吗？问题4、你能根据上面的思考，归纳出规律吗？2.数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又S9=S17.问数列的前几项和最大?解:由S9=S17得9a5=17a9,..0,0,0.0,0,0252131413114131最大又所以相邻两项之和为Saaaaada说明:000014131711109171413aaaaaSSaa也可以这样得出．3．首项为正数的等差数列{an},它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?解法一:由S3=S11得:,2101111223311dada解之得01321addnnnnaSn)1(1nana12113141311211349)7(131ana故当n=7时,Sn最大,即前7项之和最大.解法二:由0)213(1310)215(131)1(11111nandaanadnaann解得:215213n，所以n=7,即前7项之和最大.解法三:由01321ad知:{an}是递减的等差数列.又S3=S11,00871110987654aaaaaaaaaa必有0,087aa，前7项之和最大．4．已知等差数列{an},满足an=40-4n,求前多少项的和最大?最大值是多少?解法一:由219)219(2382440222nnnSnann1802192191021092210）（最大，最大值：时，或当SSnnn解法二:,440nan令109001naann180,10910SSSnnnn最大值：最大，或．5．已知等差数列{an}，3a5=8a12，a10，设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由ABABnASn4)2(22完成.解法一:.576),11(8)4(3,83111125dadadaaa即,0,01da由,)2(22)1(121ndanddnnnaSn点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数xdaxdy)2(212的图象上,其对称轴,7.15257621dddddax距离x=15.7最近的整数点(16,S16),.16nSn最小时解法二:.576,831125daaa,0,01da由,0222,02,4)2(122ddanABnABABnASn即令.16),(7.155762*最小时，nSnNndddn