高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-1

1.2.1一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④平行四边形是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析]①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线；④平行四边形是平面图形(原理：两条平行直线确定一个平面)，故只有④正确．2．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是()A．1个B．2个C．3个D．1个或3个[答案]D[解析]如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．3．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中()A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线[答案]B[解析]四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错．4．文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A.A⊂αA⊂a⇒A⊂αB.a⊂αA∈a⇒A∈αC.a∈αA⊂a⇒A∈αD.a∈αA∈a⇒A⊂α[答案]B[解析]点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“⊂”表示．5．下列说法正确的是()A．a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a，b不同在平面α内，则a与b异面D．a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面[答案]D[解析]如图所示，a⊂α，b⊂β，但a∥b，故A错，C错；如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC异面，BC与DD1异面，但AA′与DD1平行，故B错，故只有D选项正确．6．若直线l上有两个点在平面α外，则()A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内[答案]D[解析]由已知得直线l⊄α，故直线l上至多有一个点在平面α内．7．下面四个条件中，只能确定一个平面的条件是()A．空间任意三点B．空间两条直线C．两条平行线D．一条直线和一个点[答案]C[解析]由平面的基本性质可知选C.8．如图所示，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，又AB∩l＝R，设A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．以上皆错[答案]C[解析]∵C∈β，C∈γ，∴C在平面β与γ的交线上，又R∈AB，AB⊂α，∴R∈γ，又R∈β，∴R在平面β与γ的交线上，∴β∩γ＝CR.二、填空题9．四条线段顺次首尾相连，它们最多可以确定平面的个数为________．[答案]410．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为__________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为__________________________________________________________．[答案](1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B11．直线a及不在直线a上的不共线三点，可以确定平面的个数是________．[答案]1个、3个或4个12．如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题13．△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，如果三条直线AA1、BB1、CC1两两相交，证明：三条直线AA1、BB1、CC1交于一点．[解析]由推论2，可设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与BB1分别确定平面α，β，γ，设AA1∩BB1＝P，则P∈AA1，P∈BB1.∴P∈β，P∈α，又因α∩β＝CC1，则P∈CC1(公理2)，于是AA1、BB1、CC1相交于点P，故三条直线AA1、BB1、CC1共点．点评：空间中证三线共点有如下两种方法：(1)先确定两条直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．(2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线各交于一点，再证这两点重合．从而得三线共点．14．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．[解析]如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线．15．已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝2∶3，求证：直线EF、BD、HG交于一点．[解析]连结EH、AC、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点，∴EH綊12AC，∵DF∶FC＝2∶3，DG∶GA＝2∶3，∴FG∥AC，FG＝25AC，∴EH∥FG且FH≠FG，∴E、F、G、H四点共面且EF与GH不平行．∴EF与GH相交．设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF，∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∴平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，∴即直线EF、BD、HG交于一点．16．如图所示，已知直线a与b不共面，直线c∩a＝M，直线b∩c＝N，又a∩平面α＝A，b∩平面α＝B，c∩平面α＝C，求证：A、B、C三点不共面．[解析]假设A、B、C三点共线，即都在直线l上，∵A、B、C∈α，∴l⊂α.∵c∩l＝C，∴c与l可确定一个平面β.∵c∩a＝M，∴M∈β.又∵A∈β，∴a⊂β，同理b⊂β，∴直线a，b共面，这与已知a，b不共面矛盾．因此，假设不成立，即A、B、C三点不共线．