高一数学必修一单元测试题(二)

单元测试题(二)(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝5x5与y＝x2B．y＝x与y＝3x3C．y＝x－1x＋3x－1与y＝x＋3D．y＝1与y＝x0答案B2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则它的图像必经过点()A．(－a，－f(－a))B．(a，－f(a))C．(a，f(1a))D．(－a，－f(a))答案D3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)答案C4．已知函数f(x)、g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值是3，则在(－∞，0)上，函数F(x)的最小值是()A．－5B．－3C．3D．－1答案D解析因为f(x)、g(x)均为奇函数，则af(x)＋bg(x)为奇函数，即F(x)－2为奇函数，∴F(x)－2在(0，＋∞)上的最大值为1.由奇函数的特点知F(x)－2在(－∞，0)上有最小值为－1.∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－1，故选D.5．函数f(x)＝(a－1)x2＋2ax＋3为偶函数，那么f(x)在区间(－1,1)上的单调性是()A．增函数B．减函数C．在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数D．在(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数答案C解析∵f(x)为偶函数，则2a＝0，a＝0.∴f(x)＝－x2＋3，∴在(－1,1)上函数先增后减，故选C.6．将函数y＝2x2向下平移1个单位，再向右平移2个单位，将得到____的图像．()A．y＝2(x－1)2＋2B．y＝2(x＋2)2＋1C．y＝2x2－8x＋7D.y＝2x2－8x＋9答案C解析平移之后y＝2(x－2)2－1＝2x2－8x＋7.7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1)C．(0,1)D．(0,1]答案D解析由f(x)在[1,2]上递减，可得对称轴a≤1，由g(x)在[1,2]上递减，可得a＞0，∴0＜a≤1.故选D.8．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25答案A解析∵f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，∴m8≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25，故选A.9．下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c模型的是()A．汽车的行驶公里数与耗油量的关系B.我国人口自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．核电站中，作为核燃料的某放射元素裂变后，所剩原子数随使用时间的变化关系答案C10．已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则()A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln2lnx(x0)C．f(2x)＝2ex(x∈R)D．f(2x)＝lnx＋ln2(x0)答案D11．已知定义域在[1，m]上的函数f(x)＝12x2－x＋32的值域也是[1，m]，则m等于()A．1或3B．1或32C．3或32D．3答案D解析∵f(x)＝12x2－x＋32在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在[1，m]上递增，∴m＝f(m)＝12m2－m＋32，即12m2－2m＋32＝0，解得m＝1或3，又m＞1，∴m＝3，故选D.12．已知f(x)是奇函数，且对任意正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有fx1－fx2x1－x2＞0,则一定正确的是()A．f(3)＞f(－5)B．f(－3)＜f(－5)C．f(－5)＞f(3)D．f(－3)＞f(－5)答案D解析不妨设x1＞x2＞0，则f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又f(x)为奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，又－3＞－5，∴f(－3)＞f(－5)，故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y＝1x－2＋3－x的定义域为__________．答案{x2＜x≤3}．14．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b的取值范围是____________________．答案a＞0且b≤0解析一次函数的增减性看斜率的正负，这里f(x)＝a|x－b|＋2可看作是y＝a|x|平移得到的，当a＞0时，其图像是向上的“V”形，∴要使平移之后的图像在[0，＋∞)为增函数，图像应向左平移，故有b≤0.15．若f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－34)与f(a2－a＋1)的大小关系是________．答案f(a2－a＋1)≤f(－34)解析∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f(34)＝f(－34)．∴f(a2－a＋1)≤f(－34)．16．已知f(x)是定义在R＋上的单调递减函数，且f(x)＞1x，请给出一个满足条件的函数f(x)＝________.答案ax(a＞1)或ax＋b(a＞1，b＞0)(答案不唯一)三、解答题(共70分)17．(10分)求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的值域．解析(1)当x≥1时，y＝2x≥2.(2)当－1≤x≤1时，y＝2.(3)当x＜－1时，y＝－2x≥2，∴值域为{yy≥2}．18．(12分)已知函数y＝f(x)在R上是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，证明：y＝f(x)在(－∞，0)上是减函数．证明设x1、x2∈(－∞，0)且x1＜x2，－x1、－x2∈(0，＋∞)，－x1＞－x2.∵y＝f(x)在R上是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(－x1)＞f(－x2)，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)上是减函数．19．(12分)求二次函数f(x)＝x2－2(2a－1)x＋5a2－4a＋2在[0,1]上的最小值g(a)的解析式．分析讨论对称轴与区间的位置关系，可分三种情况进行讨论．解析二次函数f(x)＝x2－2(2a－1)x＋5a2－4a＋2，对称轴x＝2a－1，(1)当2a－1＜0，即a＜12时，[0,1]为增区间，∴g(a)＝f(0)＝5a2－4a＋2；(2)当0≤2a－1≤1即12≤a≤1时，即x＝2a－1时f(x)有最小值．∴g(a)＝f(2a－1)＝a2＋1；(3)当2a－1＞1即a＞1时，[0,1]为减区间，∴g(a)＝f(1)＝5a2－8a＋5，∴g(a)＝5a2－8a＋5a＞1，a2＋112≤a≤1，5a2－4a＋2a＜12.20．(12分)移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟，付电话费0.6元(这里均指市内通话)．若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1和y2元．(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？(3)若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通话方式较合算？分析本题实际上是一个一次函数的问题，问题比较简单，但本题与学生的生活联系密切，容易引起学生的兴趣，使学生进一步认识到数学与生活息息相关．解析(1)y1＝0.4x＋50，y2＝0.6x.(2)由y1＝y2得，0.4x＋50＝0.6x，得x＝250分．(3)若使用全球通，则200＝0.4x＋50，x＝375分，若使用神州行，则200＝0.6x，x＝333.3分，∴使用全球通更合算．21．(12分)设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．又当x＞0时，f(x)＜0，且f(2)＝－1.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)试问函数f(x)在区间[－6,6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；若不存在，说明理由．分析对(1)可采取赋值法先令x＝y＝0，求出f(0)，再令y＝－x即可．对(2)需先证明f(x)在R上的单调性，利用单调性求最值．解析(1)令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)以－y代换y，得f(x－y)＝f(x)＋f(－y)．∵f(x)是奇函数，∴f(－y)＝－f(y)，∴f(x－y)＝f(x)－f(y)．设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)，因x2－x1＞0，由条件知f(x2－x1)＜0.故f(x2)＜f(x1)，即f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，因此，f(x)在[－6,6]上有最大值和最小值，最小值为f(6)＝－3，最大值为f(－6)＝3.22．(14分)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c和一次函数g(x)＝－bx，其中a、b、c满足a＞b＞c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)．(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长度的取值范围．解析(1)证：由y＝ax2＋bx＋c，y＝－bx.消去y，得ax2＋2bx＋c＝0.①Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac＝4(a2＋ac＋c2)＝4a＋c22＋34c2.∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c.∴a＞0，c＜0，∴34c2＞0，Δ＞0，即两函数的图象交于不同的两点．(2)设方程①的两根为x1和x2，则x1＋x2＝－2ba，x1x2＝ca.|A1B1|2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－2ba2－4ca＝4b2－4aca2＝4－a－c2－4aca2＝4ca＋122＋34.∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴a＞－a－c＞c，解得ca∈－2，－12.∵fca＝4ca2＋ca＋1的对称轴方程是x＝ca＝－12，∴ca∈－2，－12时，为减函数，∴|A1B1|2∈(3,12)，故|A1B1|∈(3，23)．