高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-1-7

1.1.7一、选择题1．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线的长度为5，体积为2，则1a＋1b＋1c等于()A.114B.411C.112D.211[答案]A[解析]∵4(a＋b＋c)＝24，V＝abc＝2，a2＋b2＋c2＝25，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴36＝25＋2(ab＋bc＋cc)，∴ab＋bc＋ac＝112.∴1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋acabc＝114.2．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，那么这个正三棱锥的体积是()A．9B．92C．7D.72[答案]A[解析]设正三棱锥的高为h，则有h＝(15)2－(23)2＝3，∴V＝13×12×6×33×3＝9.3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R[答案]D[解析]设圆柱的高为h，则有πR2h＝3×43πR3，∴h＝4R.4．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是()A．S球S正方体B．S球＝S正方体C．S球S正方体D．不能确定[答案]C[解析]设球的半径为R，正方体的棱长为a，则4πR33＝a3，∴a＝34π3R，S正方体＝6a2＝6×3(4π3)2R2＝316π2×24R2，S球＝4πR2＝3(4π)3R2＝316π2×4πR2，∴S球S正方体，故选C.5．(2010·抚顺一中高一上学期月考)若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积比为()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶2∶4D．3∶1∶2[答案]D[解析]设球的半径为R，由题意，得V圆柱＝2πR3，V圆锥＝23πR3，V球＝43πR3.∴V圆锥∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.6．一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的()A.6364B.116C.14D.164[答案]A[解析]轴截面如图，由题意PO1PO＝O1DOB＝14，V圆锥PO1＝π3·PO1，V圆锥PO＝163π·PO，∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1＝163π·PO－π3·PO1＝163π·PO－π3·14·PO＝6312π·PO，∴V圆台OO1V圆锥PO＝6312π·PO163π·PO＝6364.(或由：截得小圆锥底半径为1，原来底半径为4，∴相似比为，故小圆锥与原来大圆锥体积比为，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为．7．(2009·山东)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋23B．4π＋23C．2π＋233D．4π＋233[答案]C[解析]由三视图知几何体为圆柱上放一个正四棱锥，其中圆柱底面直径和高均为2，四棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，∴其高为3.∴V＝π×12×2＋13(2)2×3＝2π＋233.故选C.8．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为()A．323B．283C．243D．203[答案]B[解析]由题意，得正六棱台的上底面面积为S1＝6×34×22＝63，下底面面积为S2＝6×34×42＝243，∴正六棱台的体积V＝13×2×(63＋63×243＋243)＝283.二、填空题9．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．[答案]80003cm3[解析]由主视图、左视图、俯视图可知此几何体为一个四棱锥，底面是边长为20的正方形，高为20，∴该几何体的体积为13×20×20×20＝80003(cm3)．10．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．[答案]324πR3[解析]设圆锥的底面半径为r，由题意，得πR＝2πr，∴r＝12R.∴圆锥的高h＝R2－R22＝32R，故圆锥的体积V＝13πr2h＝13π·14R2·32R＝324πR3.11．(2009·天津)如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.[答案]3[解析]由三视图可知，几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱．∴V＝12×2×a×3＝33，∴a＝3.12．一个圆柱的高缩小为原来的1n，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的________．[答案]n倍[解析]设原来圆柱的底面半径为r，高为h，根据题意，得新圆柱的底面半径为nr，高为hn，∴V原柱＝πr2h，V新柱＝π×(nr)2×hn＝nπr2h，∴V新柱∶V原柱＝nπr2h∶πr2h＝n∶1，故所得的圆柱的体积为原来的n倍．三、解答题13．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．[解析]如图所示，VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1＝13·a·a24＋13·a·a24＝a36.14．一个球的大圆面积增为原来的100倍，那么这个球的体积有什么变化？[解析]球的体积变为原来的1000倍．设原来球的半径为r，后来球的半径为R，则πR2＝100πr2，∴R＝10r，∴V1＝43πr3，V2＝43πR3＝43π(10r)3＝1000V1.15．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[分析]剩余部分的几何体不是规则几何体，可利用长方体和棱锥的体积之差来求得剩余部分的体积．[解析]已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，则棱锥C－A′DD′的底面积为12S，高是h，故棱锥C－A′DD′的体积为VC－A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.余下的体积是Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1：5.16．求棱长都为a的正四棱锥的体积．[解析]正四棱锥O－ABCD的底面是正方形，其面积是a2，设点N是底面正方形的中心，∴ON是正四棱锥的高．∵△OAN是直角三角形，且OA＝a，AN＝AC2＝22a，∴ON＝OA2－AN2＝a2－a22＝22a，由棱锥的体积公式，得V＝13·a2·22a＝26a3.17．棱台的上底面积为16，下底面积为64，求棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比．[解析]如图，将棱台还原成棱锥，AA1、BB1、CC1分别是轴截面与小锥、中锥、大锥底面的交线，则AA1CC1＝16:64＝1:2.∵BB1为棱台轴截面的中位线，∴AA1BB1:CC1＝1:32＝2:3:4.∴V小∶V中∶V大＝23:33:43＝8:27:64，∴(V中－V小)∶(V大－V中)＝(27－8)∶(64－27)＝19:37，即上、下两部分体积之比为19:37.