高中数学恒成立问题典型例题

恒成立问题是数学中的常见问题，在培养同学们思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面结合实例，介绍这类问题的几种求解策略。一、参变分离法在给出的不等式中，如果能通过恒等变形将参数与变量分离出来，即：若a≥f（x）恒成立，只需求出f（x）max，则a≥f（x）max；若a≤f（x）恒成立，只需求出f（x）min，则a≤f（x）min，转化为函数求最值。二、主元变换法在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。三、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。四、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图像，然后通过观察两图像（特别是交点）的位置关系，列出关于参数的不等式。五、判别式法对可化为关于x的一元二次不等式对x∈R（或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法，先将其化为关于x的一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解。要注意二次是否可为0。六、最值法对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为f（x）0或f（x）0在某个范围上恒成立的问题，则0[f（x）]min或0[f（x）]max,先求出f（x）的最值，将其转化为关于m的不等式问题，通过解不等式求出参数m的取值范围。上面介绍了含参不等式中恒成立问题的几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。