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高一数学竞赛训练题(一)1.函数2log()341xfxx的值域是2.若,,abc是三个互不相等的实数,且满足关系式222221614,45bcaabcaa,则a的取值范围是3.若,ab是正实数,且2ab,则1111ab的最小值是4.已知0.80.9x,若将,,xxxxxx按从小到大的顺序排列,应当是,xxxxxx5.,是关于x的方程222(1)40xmxm的两个实根,设22y,则()yfm的解析式是,值域是6.方程216log0xx的解是;使不等式2log0mxx在1(0,)2上恒成立的m的取值范围是7.若函数22()log(212)(0,1)afxxaxaaa在R上的最大值是2,则a=,()fx的单调递增区间是。8.设321,,xxx是方程013xx的三个根,则535251xxx的值为9.函数741)(2xxxxf的值域为.10.函数()ln|1|3fxxx的零点个数为()A.0B.1C.2D.311.设222221Sxxyyx,其中,xRyR,则S的最小值为()A.1B.1C.34D.012.已知定义域为R的函数()yfx对任意xR都满足条件4fxfx()+()=0与22fxfx()()=0,则对函数()yfx,下列结论中必定正确的是.①()yfx是奇函数;②()yfx是偶函数;③()yfx是周期函数;④()yfx的图象是轴对称的.13.()yfx是定义域为R的函数,(1)5gxfxfx()(),若函数ygx()有且仅有4个不同的零点,则这4个零点之和为.14.已知函数()yfn满足:(1)f为正整数,(),(),(1)23()1,(),fnfnfnfnfn为偶数为奇数如果(1)(2)(3)29fff,则(1)f.15.设)3(log)2(log)(axaxxfaa,其中0a且1a.若在区间]4,3[aa上1)(xf恒成立,求a的取值范围.16.设函数2()3fxxbx,对于给定的实数b,()fx在区间2,2bb上有最大值()Mb和最小值()mb,记()()()gbMbmb.⑴求()gb的解析式;⑵问b为何值时,()gb有最小值?并求出()gb的最小值.17.定义在正实数集上的函数()fx满足下列条件:①存在常数a)(10a,使得1)(af;②对任意实数m,当xR时,有()()mfxmfx.⑴求证:对于任意正数,xy,()()()fxyfxfy;⑵证明:()fx在正实数集上单调递减;⑶若不等式28log42log(4)3aafxfx恒成立,求实数a的取值范围.参考答案1.(,1]2.(1,)3.14.15.25()2812,[4,)2fmmmm8.-59.6[0,]610D.11B.12.①③13.814.516解:⑴22()324bbfxx,抛物线开口向上,其对称轴方程为2bx,下面就对称轴与区间2,2bb端点的相对位置分段讨论:……………….………………………..1分①当403b时,222bbb且(2)(2)22bbbb,此时2()(2)261Mbfbbb,2()34bmb.29()644gbbb.…3分②当403b时,222bbb且(2)(2)22bbbb,此时2()(2)261Mbfbbb,2()34bmb.29()644gbbb.…5分③当43b时,22bb,()fx在区间2,2bb上递增,此时2()(2)261Mbfbbb,2()(2)261mbfbbb.()12gbb.…7分④当43b时,22bb,()fx在区间2,2bb上递减,此时2()(2)261Mbfbbb,2()(2)261mbfbbb.()12gbb.…9分综上所得22412,;39464,0;43()9464,0;43412,.3bbbbbgbbbbbb………………………………………………10分⑵当43b时,4()12163gbbg;…………………………………………11分当403b时,29()644gbbb递减,()(0)4gbg;…………..….……13分当403b时,29()644gbbb递增,()(0)4gbg;…………....………15分当43b时,4()12163gbbg.……………………………………..………16分综上所述,当0b时,min()4gb.…………..…………………………………17分17⑴证明:,xy均为正数,且01a,根据指数函数性质可知,总有实数,mn使得nmayax,,于是nmafnmafaafxyfnmnm,..…2分又()()()()mnfxfyfafamfanfamn,)()()(yfxfxyf..5分⑵证明:任设2121,,xxRxx,可令121ttxx,(0)ta.…………….7分则由⑴知222221xftfxfxftxfxfxf0ftfafa,………………………………………………………..9分即12fxfx.()fx在正实数集上单调递减;..……………………………..10分⑶解:令log(4)axt,原不等式化为2283ftft,其中0t.1()()()()fxfyfxfyxfy且()1(01)faa,不等式可进一步化为2328tffat,……………………….……..12分又由于单调递减,2328tat对于0t恒成立.……………………..13分而222121228822tttt,………………….……….…..15分且当2t时2min21822tt.……………………………………..16分3122a,又01a,终得202a.…………………………..18分解22225()log(56)log[()]24aaaafxxaxax.由,03,02axax得ax3,由题意知aa33,故23a,从而53(3)(2)022aaa,故函数225()()24aagxx在区间]4,3[aa上单调递增.------------------------------------------5分(1)若10a,则)(xf在区间]4,3[aa上单调递减,所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)992(log)3(2aaafa.在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立,等价于不等式1)992(log2aaa成立,从而aaa9922,解得275a或275a.结合10a得10a.------------------------------------------10分(2)若231a,则)(xf在区间]4,3[aa上单调递增,所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)16122(log)4(2aaafa.在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立,等价于不等式1)16122(log2aaa成立,从而aaa161222,即0161322aa,解得4411344113a.易知2344113,所以不符合.------------------------------------------15分综上可知:a的取值范围为(0,1).------------------------------------------20分
本文标题:高一数学竞赛训练题
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